Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56340 / 89109
↖ ↑ ↗
← S 54.196190°
W 25.257568°		 ← 178.68 m → S 54.196190°
W 25.254822°		 →
↑
178.64 m
↓
↑
178.64 m
↓
S 54.197797°
W 25.257568°		 ← 178.67 m →
31 919 m²		 S 54.197797°
W 25.254822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429843902587891 y=0.679851531982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429843902587891 × 217)
    floor (0.429843902587891 × 131072)
    floor (56340.5)     		tx = 56340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679851531982422 × 217)
    floor (0.679851531982422 × 131072)
    floor (89109.5)     		ty = 89109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56340 / 89109 ti = "17/56340/89109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56340/89109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56340 ÷ 217
    56340 ÷ 131072     		x = 0.429840087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89109 ÷ 217
    89109 ÷ 131072     		y = 0.679847717285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429840087890625 × 2 - 1) × π
    -0.14031982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44082773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679847717285156 × 2 - 1) × π
    -0.359695434570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.13001653474358
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44082773} λ = -0.44082773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13001653474358))-π/2
    2×atan(0.323027915194347)-π/2
    2×0.312447183122356-π/2
    0.624894366244711-1.57079632675     		φ = -0.94590196
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44082773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.257568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94590196 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.196190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56340 KachelY 89109 -0.44082773 -0.94590196 -25.257568 -54.196190
    Oben rechts KachelX + 1 56341 KachelY 89109 -0.44077979 -0.94590196 -25.254822 -54.196190
    Unten links KachelX 56340 KachelY + 1 89110 -0.44082773 -0.94593000 -25.257568 -54.197797
    Unten rechts KachelX + 1 56341 KachelY + 1 89110 -0.44077979 -0.94593000 -25.254822 -54.197797
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94590196--0.94593000) × R
    2.80400000000069e-05 × 6371000     		dl = 178.642840000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94590196--0.94593000) × R
    2.80400000000069e-05 × 6371000     		dr = 178.642840000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44082773--0.44077979) × cos(-0.94590196) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.58501160504272 × 6371000     		do = 178.677602378643m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44082773--0.44077979) × cos(-0.94593000) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.584988863673967 × 6371000     		du = 178.670656579263m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94590196)-sin(-0.94593000))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58501160504272-0.584988863673967)×R²
    abs(-0.44077979--0.44082773)×2.27413687531319e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27413687531319e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27413687531319e-05×40589641000000     		ar = 31918.8539267653m²