Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 5634 / 7681
↖ ↑ ↗
← N 68.652556°
W118.103027°		 ← 444.68 m → N 68.652556°
W118.092041°		 →
↑
444.70 m
↓
↑
444.70 m
↓
N 68.648557°
W118.103027°		 ← 444.76 m →
197 765 m²		 N 68.648557°
W118.092041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5634 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.171951293945312 y=0.234420776367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.171951293945312 × 215)
    floor (0.171951293945312 × 32768)
    floor (5634.5)     		tx = 5634
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.234420776367188 × 215)
    floor (0.234420776367188 × 32768)
    floor (7681.5)     		ty = 7681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5634 / 7681 ti = "15/5634/7681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5634/7681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5634 ÷ 215
    5634 ÷ 32768     		x = 0.17193603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7681 ÷ 215
    7681 ÷ 32768     		y = 0.234405517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.17193603515625 × 2 - 1) × π
    -0.6561279296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.06128668
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.234405517578125 × 2 - 1) × π
    0.53118896484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.66877934957339
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.06128668} λ = -2.06128668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.66877934957339))-π/2
    2×atan(5.30568745321529)-π/2
    2×1.3845047350561-π/2
    2.7690094701122-1.57079632675     		φ = 1.19821314
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.06128668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -118.103027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19821314 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.652556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5634 KachelY 7681 -2.06128668 1.19821314 -118.103027 68.652556
    Oben rechts KachelX + 1 5635 KachelY 7681 -2.06109494 1.19821314 -118.092041 68.652556
    Unten links KachelX 5634 KachelY + 1 7682 -2.06128668 1.19814334 -118.103027 68.648557
    Unten rechts KachelX + 1 5635 KachelY + 1 7682 -2.06109494 1.19814334 -118.092041 68.648557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19821314-1.19814334) × R
    6.98000000001198e-05 × 6371000     		dl = 444.695800000763m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19821314-1.19814334) × R
    6.98000000001198e-05 × 6371000     		dr = 444.695800000763m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.06128668--2.06109494) × cos(1.19821314) × R
    0.000191739999999996 × 0.364022598471374 × 6371000     		do = 444.681102299862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.06128668--2.06109494) × cos(1.19814334) × R
    0.000191739999999996 × 0.364087608614637 × 6371000     		du = 444.760517100724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19821314)-sin(1.19814334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364022598471374-0.364087608614637)×R²
    abs(-2.06109494--2.06128668)×6.50101432635442e-05×R²
    0.000191739999999996×6.50101432635442e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.50101432635442e-05×40589641000000     		ar = 197765.476326899m²