Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56339 / 86931
↖ ↑ ↗
← S 50.546599°
W 25.260315°		 ← 194.08 m → S 50.546599°
W 25.257568°		 →
↑
194.06 m
↓
↑
194.06 m
↓
S 50.548344°
W 25.260315°		 ← 194.08 m →
37 663 m²		 S 50.548344°
W 25.257568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56339 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429836273193359 y=0.663234710693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429836273193359 × 217)
    floor (0.429836273193359 × 131072)
    floor (56339.5)     		tx = 56339
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663234710693359 × 217)
    floor (0.663234710693359 × 131072)
    floor (86931.5)     		ty = 86931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56339 / 86931 ti = "17/56339/86931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56339/86931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56339 ÷ 217
    56339 ÷ 131072     		x = 0.429832458496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86931 ÷ 217
    86931 ÷ 131072     		y = 0.663230895996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429832458496094 × 2 - 1) × π
    -0.140335083007812 × 3.1415926535     		Λ = -0.44087567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663230895996094 × 2 - 1) × π
    -0.326461791992188 × 3.1415926535     		Φ = -1.0256099673711
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44087567} λ = -0.44087567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0256099673711))-π/2
    2×atan(0.35857767800256)-π/2
    2×0.344295872489567-π/2
    0.688591744979134-1.57079632675     		φ = -0.88220458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44087567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.260315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88220458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.546599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56339 KachelY 86931 -0.44087567 -0.88220458 -25.260315 -50.546599
    Oben rechts KachelX + 1 56340 KachelY 86931 -0.44082773 -0.88220458 -25.257568 -50.546599
    Unten links KachelX 56339 KachelY + 1 86932 -0.44087567 -0.88223504 -25.260315 -50.548344
    Unten rechts KachelX + 1 56340 KachelY + 1 86932 -0.44082773 -0.88223504 -25.257568 -50.548344
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88220458--0.88223504) × R
    3.04599999999544e-05 × 6371000     		dl = 194.06065999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88220458--0.88223504) × R
    3.04599999999544e-05 × 6371000     		dr = 194.06065999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44087567--0.44082773) × cos(-0.88220458) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.635450441725542 × 6371000     		do = 194.082921397448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44087567--0.44082773) × cos(-0.88223504) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.635426921995931 × 6371000     		du = 194.075737866627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88220458)-sin(-0.88223504))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635450441725542-0.635426921995931)×R²
    abs(-0.44082773--0.44087567)×2.35197296110101e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35197296110101e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35197296110101e-05×40589641000000     		ar = 37663.1628036314m²