Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56334 / 86920
↖ ↑ ↗
← S 50.527397°
W 25.274048°		 ← 194.16 m → S 50.527397°
W 25.271301°		 →
↑
194.12 m
↓
↑
194.12 m
↓
S 50.529143°
W 25.274048°		 ← 194.15 m →
37 691 m²		 S 50.529143°
W 25.271301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429798126220703 y=0.663150787353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429798126220703 × 217)
    floor (0.429798126220703 × 131072)
    floor (56334.5)     		tx = 56334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663150787353516 × 217)
    floor (0.663150787353516 × 131072)
    floor (86920.5)     		ty = 86920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56334 / 86920 ti = "17/56334/86920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56334/86920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56334 ÷ 217
    56334 ÷ 131072     		x = 0.429794311523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86920 ÷ 217
    86920 ÷ 131072     		y = 0.66314697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429794311523438 × 2 - 1) × π
    -0.140411376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44111535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66314697265625 × 2 - 1) × π
    -0.3262939453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.02508266147528
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44111535} λ = -0.44111535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02508266147528))-π/2
    2×atan(0.358766807986576)-π/2
    2×0.344463444979934-π/2
    0.688926889959869-1.57079632675     		φ = -0.88186944
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44111535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.274048°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88186944 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.527397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56334 KachelY 86920 -0.44111535 -0.88186944 -25.274048 -50.527397
    Oben rechts KachelX + 1 56335 KachelY 86920 -0.44106741 -0.88186944 -25.271301 -50.527397
    Unten links KachelX 56334 KachelY + 1 86921 -0.44111535 -0.88189991 -25.274048 -50.529143
    Unten rechts KachelX + 1 56335 KachelY + 1 86921 -0.44106741 -0.88189991 -25.271301 -50.529143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88186944--0.88189991) × R
    3.04700000000047e-05 × 6371000     		dl = 194.12437000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88186944--0.88189991) × R
    3.04700000000047e-05 × 6371000     		dr = 194.12437000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44111535--0.44106741) × cos(-0.88186944) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.635709181588591 × 6371000     		do = 194.161947211587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44111535--0.44106741) × cos(-0.88189991) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.63568566062761 × 6371000     		du = 194.154763304674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88186944)-sin(-0.88189991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635709181588591-0.63568566062761)×R²
    abs(-0.44106741--0.44111535)×2.35209609809051e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35209609809051e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35209609809051e-05×40589641000000     		ar = 37690.8683977317m²