Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56332 / 87183
↖ ↑ ↗
← S 50.984370°
W 25.279541°		 ← 192.24 m → S 50.984370°
W 25.276795°		 →
↑
192.28 m
↓
↑
192.28 m
↓
S 50.986099°
W 25.279541°		 ← 192.23 m →
36 962 m²		 S 50.986099°
W 25.276795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429782867431641 y=0.665157318115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429782867431641 × 217)
    floor (0.429782867431641 × 131072)
    floor (56332.5)     		tx = 56332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665157318115234 × 217)
    floor (0.665157318115234 × 131072)
    floor (87183.5)     		ty = 87183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56332 / 87183 ti = "17/56332/87183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56332/87183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56332 ÷ 217
    56332 ÷ 131072     		x = 0.429779052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87183 ÷ 217
    87183 ÷ 131072     		y = 0.665153503417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429779052734375 × 2 - 1) × π
    -0.14044189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44121122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665153503417969 × 2 - 1) × π
    -0.330307006835938 × 3.1415926535     		Φ = -1.03769006607536
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44121122} λ = -0.44121122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03769006607536))-π/2
    2×atan(0.354272082626771)-π/2
    2×0.340475602473168-π/2
    0.680951204946337-1.57079632675     		φ = -0.88984512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44121122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.279541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88984512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.984370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56332 KachelY 87183 -0.44121122 -0.88984512 -25.279541 -50.984370
    Oben rechts KachelX + 1 56333 KachelY 87183 -0.44116329 -0.88984512 -25.276795 -50.984370
    Unten links KachelX 56332 KachelY + 1 87184 -0.44121122 -0.88987530 -25.279541 -50.986099
    Unten rechts KachelX + 1 56333 KachelY + 1 87184 -0.44116329 -0.88987530 -25.276795 -50.986099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88984512--0.88987530) × R
    3.01799999999908e-05 × 6371000     		dl = 192.276779999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88984512--0.88987530) × R
    3.01799999999908e-05 × 6371000     		dr = 192.276779999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44121122--0.44116329) × cos(-0.88984512) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.629532371896363 × 6371000     		do = 192.235283033106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44121122--0.44116329) × cos(-0.88987530) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.629508922526655 × 6371000     		du = 192.22812248597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88984512)-sin(-0.88987530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629532371896363-0.629508922526655)×R²
    abs(-0.44116329--0.44121122)×2.34493697077731e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34493697077731e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34493697077731e-05×40589641000000     		ar = 36961.6928233245m²