Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56331 / 87180
↖ ↑ ↗
← S 50.979182°
W 25.282288°		 ← 192.30 m → S 50.979182°
W 25.279541°		 →
↑
192.28 m
↓
↑
192.28 m
↓
S 50.980911°
W 25.282288°		 ← 192.29 m →
36 974 m²		 S 50.980911°
W 25.279541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56331 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429775238037109 y=0.665134429931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429775238037109 × 217)
    floor (0.429775238037109 × 131072)
    floor (56331.5)     		tx = 56331
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665134429931641 × 217)
    floor (0.665134429931641 × 131072)
    floor (87180.5)     		ty = 87180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56331 / 87180 ti = "17/56331/87180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56331/87180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56331 ÷ 217
    56331 ÷ 131072     		x = 0.429771423339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87180 ÷ 217
    87180 ÷ 131072     		y = 0.665130615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429771423339844 × 2 - 1) × π
    -0.140457153320312 × 3.1415926535     		Λ = -0.44125916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665130615234375 × 2 - 1) × π
    -0.33026123046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.0375462553765
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44125916} λ = -0.44125916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0375462553765))-π/2
    2×atan(0.354323034406178)-π/2
    2×0.340520871747266-π/2
    0.681041743494532-1.57079632675     		φ = -0.88975458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44125916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.282288°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88975458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.979182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56331 KachelY 87180 -0.44125916 -0.88975458 -25.282288 -50.979182
    Oben rechts KachelX + 1 56332 KachelY 87180 -0.44121122 -0.88975458 -25.279541 -50.979182
    Unten links KachelX 56331 KachelY + 1 87181 -0.44125916 -0.88978476 -25.282288 -50.980911
    Unten rechts KachelX + 1 56332 KachelY + 1 87181 -0.44121122 -0.88978476 -25.279541 -50.980911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88975458--0.88978476) × R
    3.01799999999908e-05 × 6371000     		dl = 192.276779999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88975458--0.88978476) × R
    3.01799999999908e-05 × 6371000     		dr = 192.276779999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44125916--0.44121122) × cos(-0.88975458) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.62960271656501 × 6371000     		do = 192.296875612752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44125916--0.44121122) × cos(-0.88978476) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.629579268915562 × 6371000     		du = 192.289714097068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88975458)-sin(-0.88978476))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62960271656501-0.629579268915562)×R²
    abs(-0.44121122--0.44125916)×2.34476494481717e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34476494481717e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34476494481717e-05×40589641000000     		ar = 36973.5355529356m²