Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56327 / 86814
↖ ↑ ↗
← S 50.341955°
W 25.293274°		 ← 194.92 m → S 50.341955°
W 25.290527°		 →
↑
194.95 m
↓
↑
194.95 m
↓
S 50.343708°
W 25.293274°		 ← 194.92 m →
38 000 m²		 S 50.343708°
W 25.290527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429744720458984 y=0.662342071533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429744720458984 × 217)
    floor (0.429744720458984 × 131072)
    floor (56327.5)     		tx = 56327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662342071533203 × 217)
    floor (0.662342071533203 × 131072)
    floor (86814.5)     		ty = 86814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56327 / 86814 ti = "17/56327/86814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56327/86814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56327 ÷ 217
    56327 ÷ 131072     		x = 0.429740905761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86814 ÷ 217
    86814 ÷ 131072     		y = 0.662338256835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429740905761719 × 2 - 1) × π
    -0.140518188476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.44145091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662338256835938 × 2 - 1) × π
    -0.324676513671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.02000135011555
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44145091} λ = -0.44145091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02000135011555))-π/2
    2×atan(0.360594453328569)-π/2
    2×0.346081732029677-π/2
    0.692163464059354-1.57079632675     		φ = -0.87863286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44145091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.293274°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87863286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.341955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56327 KachelY 86814 -0.44145091 -0.87863286 -25.293274 -50.341955
    Oben rechts KachelX + 1 56328 KachelY 86814 -0.44140297 -0.87863286 -25.290527 -50.341955
    Unten links KachelX 56327 KachelY + 1 86815 -0.44145091 -0.87866346 -25.293274 -50.343708
    Unten rechts KachelX + 1 56328 KachelY + 1 86815 -0.44140297 -0.87866346 -25.290527 -50.343708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87863286--0.87866346) × R
    3.05999999999917e-05 × 6371000     		dl = 194.952599999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87863286--0.87866346) × R
    3.05999999999917e-05 × 6371000     		dr = 194.952599999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44145091--0.44140297) × cos(-0.87863286) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.638204256380717 × 6371000     		do = 194.924007276102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44145091--0.44140297) × cos(-0.87866346) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.638180698149153 × 6371000     		du = 194.916811985794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87863286)-sin(-0.87866346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638204256380717-0.638180698149153)×R²
    abs(-0.44140297--0.44145091)×2.35582315634142e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35582315634142e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35582315634142e-05×40589641000000     		ar = 38000.2406535517m²