Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56322 / 84994
↖ ↑ ↗
← S 47.043925°
W 25.307007°		 ← 208.09 m → S 47.043925°
W 25.304260°		 →
↑
208.14 m
↓
↑
208.14 m
↓
S 47.045797°
W 25.307007°		 ← 208.08 m →
43 310 m²		 S 47.045797°
W 25.304260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84994 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429706573486328 y=0.648456573486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429706573486328 × 217)
    floor (0.429706573486328 × 131072)
    floor (56322.5)     		tx = 56322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648456573486328 × 217)
    floor (0.648456573486328 × 131072)
    floor (84994.5)     		ty = 84994
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56322 / 84994 ti = "17/56322/84994"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56322/84994.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56322 ÷ 217
    56322 ÷ 131072     		x = 0.429702758789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84994 ÷ 217
    84994 ÷ 131072     		y = 0.648452758789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429702758789062 × 2 - 1) × π
    -0.140594482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44169059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648452758789062 × 2 - 1) × π
    -0.296905517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.932756192807053
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44169059} λ = -0.44169059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.932756192807053))-π/2
    2×atan(0.393467741530306)-π/2
    2×0.374862466678469-π/2
    0.749724933356939-1.57079632675     		φ = -0.82107139
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44169059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.307007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82107139 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.043925°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56322 KachelY 84994 -0.44169059 -0.82107139 -25.307007 -47.043925
    Oben rechts KachelX + 1 56323 KachelY 84994 -0.44164266 -0.82107139 -25.304260 -47.043925
    Unten links KachelX 56322 KachelY + 1 84995 -0.44169059 -0.82110406 -25.307007 -47.045797
    Unten rechts KachelX + 1 56323 KachelY + 1 84995 -0.44164266 -0.82110406 -25.304260 -47.045797
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82107139--0.82110406) × R
    3.26700000000679e-05 × 6371000     		dl = 208.140570000433m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82107139--0.82110406) × R
    3.26700000000679e-05 × 6371000     		dr = 208.140570000433m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44169059--0.44164266) × cos(-0.82107139) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.681437473554147 × 6371000     		do = 208.085130242452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44169059--0.44164266) × cos(-0.82110406) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.681413562790629 × 6371000     		du = 208.077828803165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82107139)-sin(-0.82110406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681437473554147-0.681413562790629)×R²
    abs(-0.44164266--0.44169059)×2.39107635170432e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39107635170432e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39107635170432e-05×40589641000000     		ar = 43310.1977581589m²