Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56321 / 37888
↖ ↑ ↗
← N 60.239811°
W 25.309753°		 ← 151.60 m → N 60.239811°
W 25.307007°		 →
↑
151.63 m
↓
↑
151.63 m
↓
N 60.238448°
W 25.309753°		 ← 151.61 m →
22 988 m²		 N 60.238448°
W 25.307007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429698944091797 y=0.289066314697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429698944091797 × 217)
    floor (0.429698944091797 × 131072)
    floor (56321.5)     		tx = 56321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.289066314697266 × 217)
    floor (0.289066314697266 × 131072)
    floor (37888.5)     		ty = 37888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56321 / 37888 ti = "17/56321/37888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56321/37888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56321 ÷ 217
    56321 ÷ 131072     		x = 0.429695129394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37888 ÷ 217
    37888 ÷ 131072     		y = 0.2890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429695129394531 × 2 - 1) × π
    -0.140609741210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.44173853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2890625 × 2 - 1) × π
    0.421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.32535940069531
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44173853} λ = -0.44173853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32535940069531))-π/2
    2×atan(3.7635377300401)-π/2
    2×1.31108968623612-π/2
    2.62217937247223-1.57079632675     		φ = 1.05138305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44173853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.309753°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05138305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.239811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56321 KachelY 37888 -0.44173853 1.05138305 -25.309753 60.239811
    Oben rechts KachelX + 1 56322 KachelY 37888 -0.44169059 1.05138305 -25.307007 60.239811
    Unten links KachelX 56321 KachelY + 1 37889 -0.44173853 1.05135925 -25.309753 60.238448
    Unten rechts KachelX + 1 56322 KachelY + 1 37889 -0.44169059 1.05135925 -25.307007 60.238448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05138305-1.05135925) × R
    2.38000000001293e-05 × 6371000     		dl = 151.629800000824m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05138305-1.05135925) × R
    2.38000000001293e-05 × 6371000     		dr = 151.629800000824m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44173853--0.44169059) × cos(1.05138305) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.496370882698369 × 6371000     		do = 151.604444162679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44173853--0.44169059) × cos(1.05135925) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.496391543589146 × 6371000     		du = 151.610754530533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05138305)-sin(1.05135925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.496370882698369-0.496391543589146)×R²
    abs(-0.44169059--0.44173853)×2.06608907772909e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.06608907772909e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.06608907772909e-05×40589641000000     		ar = 22988.2299685549m²