Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5631 / 1546
↖ ↑ ↗
← N 73.898111°
E 67.456054°		 ← 1 355.27 m → N 73.898111°
E 67.500000°		 →
↑
1 355.75 m
↓
↑
1 355.75 m
↓
N 73.885918°
E 67.456054°		 ← 1 356.27 m →
1 838 081 m²		 N 73.885918°
E 67.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.68743896484375 y=0.18878173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.68743896484375 × 213)
    floor (0.68743896484375 × 8192)
    floor (5631.5)     		tx = 5631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.18878173828125 × 213)
    floor (0.18878173828125 × 8192)
    floor (1546.5)     		ty = 1546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5631 / 1546 ti = "13/5631/1546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5631/1546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5631 ÷ 213
    5631 ÷ 8192     		x = 0.6873779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1546 ÷ 213
    1546 ÷ 8192     		y = 0.188720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6873779296875 × 2 - 1) × π
    0.374755859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.17733025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.188720703125 × 2 - 1) × π
    0.62255859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.95582550449829
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17733025} λ = 1.17733025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95582550449829))-π/2
    2×atan(7.0697527281742)-π/2
    2×1.43028083438413-π/2
    2.86056166876826-1.57079632675     		φ = 1.28976534
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17733025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.456054°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28976534 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.898111°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5631 KachelY 1546 1.17733025 1.28976534 67.456054 73.898111
    Oben rechts KachelX + 1 5632 KachelY 1546 1.17809725 1.28976534 67.500000 73.898111
    Unten links KachelX 5631 KachelY + 1 1547 1.17733025 1.28955254 67.456054 73.885918
    Unten rechts KachelX + 1 5632 KachelY + 1 1547 1.17809725 1.28955254 67.500000 73.885918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28976534-1.28955254) × R
    0.000212799999999902 × 6371000     		dl = 1355.74879999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28976534-1.28955254) × R
    0.000212799999999902 × 6371000     		dr = 1355.74879999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17733025-1.17809725) × cos(1.28976534) × R
    0.000766999999999962 × 0.277346336980781 × 6371000     		do = 1355.26868439773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17733025-1.17809725) × cos(1.28955254) × R
    0.000766999999999962 × 0.277550782557407 × 6371000     		du = 1356.26771936131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28976534)-sin(1.28955254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.277346336980781-0.277550782557407)×R²
    abs(1.17809725-1.17733025)×0.000204445576626522×R²
    0.000766999999999962×0.000204445576626522×6371000²
    0.000766999999999962×0.000204445576626522×40589641000000     		ar = 1838081.11971247m²