Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56309 / 86965
↖ ↑ ↗
← S 50.605903°
W 25.342712°		 ← 193.80 m → S 50.605903°
W 25.339966°		 →
↑
193.81 m
↓
↑
193.81 m
↓
S 50.607645°
W 25.342712°		 ← 193.79 m →
37 559 m²		 S 50.607645°
W 25.339966°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86965 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429607391357422 y=0.663494110107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429607391357422 × 217)
    floor (0.429607391357422 × 131072)
    floor (56309.5)     		tx = 56309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663494110107422 × 217)
    floor (0.663494110107422 × 131072)
    floor (86965.5)     		ty = 86965
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56309 / 86965 ti = "17/56309/86965"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56309/86965.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56309 ÷ 217
    56309 ÷ 131072     		x = 0.429603576660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86965 ÷ 217
    86965 ÷ 131072     		y = 0.663490295410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429603576660156 × 2 - 1) × π
    -0.140792846679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.44231377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663490295410156 × 2 - 1) × π
    -0.326980590820312 × 3.1415926535     		Φ = -1.02723982195818
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44231377} λ = -0.44231377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02723982195818))-π/2
    2×atan(0.357993724538127)-π/2
    2×0.343778352386841-π/2
    0.687556704773683-1.57079632675     		φ = -0.88323962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44231377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.342712°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88323962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.605903°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56309 KachelY 86965 -0.44231377 -0.88323962 -25.342712 -50.605903
    Oben rechts KachelX + 1 56310 KachelY 86965 -0.44226584 -0.88323962 -25.339966 -50.605903
    Unten links KachelX 56309 KachelY + 1 86966 -0.44231377 -0.88327004 -25.342712 -50.607645
    Unten rechts KachelX + 1 56310 KachelY + 1 86966 -0.44226584 -0.88327004 -25.339966 -50.607645
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88323962--0.88327004) × R
    3.04199999999755e-05 × 6371000     		dl = 193.805819999844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88323962--0.88327004) × R
    3.04199999999755e-05 × 6371000     		dr = 193.805819999844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44231377--0.44226584) × cos(-0.88323962) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.634650903987686 × 6371000     		do = 193.798288382909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44231377--0.44226584) × cos(-0.88327004) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.63462739514973 × 6371000     		du = 193.791109676428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88323962)-sin(-0.88327004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634650903987686-0.63462739514973)×R²
    abs(-0.44226584--0.44231377)×2.35088379556547e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.35088379556547e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.35088379556547e-05×40589641000000     		ar = 37558.5405600675m²