Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56308 / 86966
↖ ↑ ↗
← S 50.607645°
W 25.345459°		 ← 193.83 m → S 50.607645°
W 25.342712°		 →
↑
193.87 m
↓
↑
193.87 m
↓
S 50.609389°
W 25.345459°		 ← 193.82 m →
37 577 m²		 S 50.609389°
W 25.342712°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86966 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429599761962891 y=0.663501739501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429599761962891 × 217)
    floor (0.429599761962891 × 131072)
    floor (56308.5)     		tx = 56308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663501739501953 × 217)
    floor (0.663501739501953 × 131072)
    floor (86966.5)     		ty = 86966
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56308 / 86966 ti = "17/56308/86966"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56308/86966.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56308 ÷ 217
    56308 ÷ 131072     		x = 0.429595947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86966 ÷ 217
    86966 ÷ 131072     		y = 0.663497924804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429595947265625 × 2 - 1) × π
    -0.14080810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44236171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663497924804688 × 2 - 1) × π
    -0.326995849609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.0272877588578
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44236171} λ = -0.44236171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0272877588578))-π/2
    2×atan(0.357976563840208)-π/2
    2×0.3437631410703-π/2
    0.6875262821406-1.57079632675     		φ = -0.88327004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44236171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.345459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88327004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.607645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56308 KachelY 86966 -0.44236171 -0.88327004 -25.345459 -50.607645
    Oben rechts KachelX + 1 56309 KachelY 86966 -0.44231377 -0.88327004 -25.342712 -50.607645
    Unten links KachelX 56308 KachelY + 1 86967 -0.44236171 -0.88330047 -25.345459 -50.609389
    Unten rechts KachelX + 1 56309 KachelY + 1 86967 -0.44231377 -0.88330047 -25.342712 -50.609389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88327004--0.88330047) × R
    3.04300000000257e-05 × 6371000     		dl = 193.869530000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88327004--0.88330047) × R
    3.04300000000257e-05 × 6371000     		dr = 193.869530000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44236171--0.44231377) × cos(-0.88327004) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.63462739514973 × 6371000     		do = 193.831541787976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44236171--0.44231377) × cos(-0.88330047) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.634603877996129 × 6371000     		du = 193.824359043935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88327004)-sin(-0.88330047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63462739514973-0.634603877996129)×R²
    abs(-0.44231377--0.44236171)×2.35171536006051e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35171536006051e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35171536006051e-05×40589641000000     		ar = 37577.3336508609m²