Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 5630 / 9775
↖ ↑ ↗
← S 32.824211°
W 56.293945°		 ← 2 053.13 m → S 32.824211°
W 56.271973°		 →
↑
2 052.93 m
↓
↑
2 052.93 m
↓
S 32.842674°
W 56.293945°		 ← 2 052.70 m →
4 214 479 m²		 S 32.842674°
W 56.271973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5630 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343658447265625 y=0.596649169921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343658447265625 × 214)
    floor (0.343658447265625 × 16384)
    floor (5630.5)     		tx = 5630
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596649169921875 × 214)
    floor (0.596649169921875 × 16384)
    floor (9775.5)     		ty = 9775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5630 / 9775 ti = "14/5630/9775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5630/9775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5630 ÷ 214
    5630 ÷ 16384     		x = 0.3436279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9775 ÷ 214
    9775 ÷ 16384     		y = 0.59661865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3436279296875 × 2 - 1) × π
    -0.312744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.98251469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59661865234375 × 2 - 1) × π
    -0.1932373046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.607072896788391
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98251469} λ = -0.98251469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.607072896788391))-π/2
    2×atan(0.544943643118176)-π/2
    2×0.498952884358325-π/2
    0.99790576871665-1.57079632675     		φ = -0.57289056
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98251469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.293945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57289056 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.824211°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5630 KachelY 9775 -0.98251469 -0.57289056 -56.293945 -32.824211
    Oben rechts KachelX + 1 5631 KachelY 9775 -0.98213120 -0.57289056 -56.271973 -32.824211
    Unten links KachelX 5630 KachelY + 1 9776 -0.98251469 -0.57321279 -56.293945 -32.842674
    Unten rechts KachelX + 1 5631 KachelY + 1 9776 -0.98213120 -0.57321279 -56.271973 -32.842674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57289056--0.57321279) × R
    0.000322229999999979 × 6371000     		dl = 2052.92732999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57289056--0.57321279) × R
    0.000322229999999979 × 6371000     		dr = 2052.92732999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98251469--0.98213120) × cos(-0.57289056) × R
    0.000383490000000042 × 0.84033762133886 × 6371000     		do = 2053.12530504875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98251469--0.98213120) × cos(-0.57321279) × R
    0.000383490000000042 × 0.840162908639566 × 6371000     		du = 2052.69844439783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57289056)-sin(-0.57321279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.84033762133886-0.840162908639566)×R²
    abs(-0.98213120--0.98251469)×0.000174712699294033×R²
    0.000383490000000042×0.000174712699294033×6371000²
    0.000383490000000042×0.000174712699294033×40589641000000     		ar = 4214478.93016769m²