Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 563 / 716
↖ ↑ ↗
← N 75.230667°
W130.517578°		 ← 2 491.41 m → N 75.230667°
W130.429688°		 →
↑
2 493.23 m
↓
↑
2 493.23 m
↓
N 75.208245°
W130.517578°		 ← 2 495.11 m →
6 216 262 m²		 N 75.208245°
W130.429688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1375732421875 y=0.1749267578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1375732421875 × 212)
    floor (0.1375732421875 × 4096)
    floor (563.5)     		tx = 563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1749267578125 × 212)
    floor (0.1749267578125 × 4096)
    floor (716.5)     		ty = 716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 563 / 716 ti = "12/563/716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/563/716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 563 ÷ 212
    563 ÷ 4096     		x = 0.137451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 716 ÷ 212
    716 ÷ 4096     		y = 0.1748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.137451171875 × 2 - 1) × π
    -0.72509765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.27796147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1748046875 × 2 - 1) × π
    0.650390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.04326240940527
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27796147} λ = -2.27796147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.04326240940527))-π/2
    2×atan(7.71574008599329)-π/2
    2×1.44190958580322-π/2
    2.88381917160645-1.57079632675     		φ = 1.31302284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27796147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.517578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31302284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.230667°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 563 KachelY 716 -2.27796147 1.31302284 -130.517578 75.230667
    Oben rechts KachelX + 1 564 KachelY 716 -2.27642749 1.31302284 -130.429688 75.230667
    Unten links KachelX 563 KachelY + 1 717 -2.27796147 1.31263150 -130.517578 75.208245
    Unten rechts KachelX + 1 564 KachelY + 1 717 -2.27642749 1.31263150 -130.429688 75.208245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31302284-1.31263150) × R
    0.000391339999999962 × 6371000     		dl = 2493.22713999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31302284-1.31263150) × R
    0.000391339999999962 × 6371000     		dr = 2493.22713999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27796147--2.27642749) × cos(1.31302284) × R
    0.00153398000000005 × 0.25492823640204 × 6371000     		do = 2491.41023322028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27796147--2.27642749) × cos(1.31263150) × R
    0.00153398000000005 × 0.25530662698846 × 6371000     		du = 2495.10823934336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31302284)-sin(1.31263150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.25492823640204-0.25530662698846)×R²
    abs(-2.27642749--2.27796147)×0.000378390586420252×R²
    0.00153398000000005×0.000378390586420252×6371000²
    0.00153398000000005×0.000378390586420252×40589641000000     		ar = 6216261.67429119m²