Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 563 / 295
↖ ↑ ↗
← N 82.226115°
W130.517578°		 ← 1 321.93 m → N 82.226115°
W130.429688°		 →
↑
1 322.94 m
↓
↑
1 322.94 m
↓
N 82.214217°
W130.517578°		 ← 1 323.94 m →
1 750 166 m²		 N 82.214217°
W130.429688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1375732421875 y=0.0721435546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1375732421875 × 212)
    floor (0.1375732421875 × 4096)
    floor (563.5)     		tx = 563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0721435546875 × 212)
    floor (0.0721435546875 × 4096)
    floor (295.5)     		ty = 295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 563 / 295 ti = "12/563/295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/563/295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 563 ÷ 212
    563 ÷ 4096     		x = 0.137451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 295 ÷ 212
    295 ÷ 4096     		y = 0.072021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.137451171875 × 2 - 1) × π
    -0.72509765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.27796147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.072021484375 × 2 - 1) × π
    0.85595703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.68906832108667
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27796147} λ = -2.27796147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.68906832108667))-π/2
    2×atan(14.7179571203802)-π/2
    2×1.50295637898353-π/2
    3.00591275796706-1.57079632675     		φ = 1.43511643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27796147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.517578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43511643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.226115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 563 KachelY 295 -2.27796147 1.43511643 -130.517578 82.226115
    Oben rechts KachelX + 1 564 KachelY 295 -2.27642749 1.43511643 -130.429688 82.226115
    Unten links KachelX 563 KachelY + 1 296 -2.27796147 1.43490878 -130.517578 82.214217
    Unten rechts KachelX + 1 564 KachelY + 1 296 -2.27642749 1.43490878 -130.429688 82.214217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43511643-1.43490878) × R
    0.000207650000000115 × 6371000     		dl = 1322.93815000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43511643-1.43490878) × R
    0.000207650000000115 × 6371000     		dr = 1322.93815000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27796147--2.27642749) × cos(1.43511643) × R
    0.00153398000000005 × 0.135263990486754 × 6371000     		do = 1321.93316378434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27796147--2.27642749) × cos(1.43490878) × R
    0.00153398000000005 × 0.135469729181416 × 6371000     		du = 1323.94384528625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43511643)-sin(1.43490878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.135263990486754-0.135469729181416)×R²
    abs(-2.27642749--2.27796147)×0.000205738694661783×R²
    0.00153398000000005×0.000205738694661783×6371000²
    0.00153398000000005×0.000205738694661783×40589641000000     		ar = 1750165.82404214m²