Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 563 / 294
↖ ↑ ↗
← N 82.237994°
W130.517578°		 ← 1 319.93 m → N 82.237994°
W130.429688°		 →
↑
1 320.96 m
↓
↑
1 320.96 m
↓
N 82.226115°
W130.517578°		 ← 1 321.93 m →
1 744 899 m²		 N 82.226115°
W130.429688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1375732421875 y=0.0718994140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1375732421875 × 212)
    floor (0.1375732421875 × 4096)
    floor (563.5)     		tx = 563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0718994140625 × 212)
    floor (0.0718994140625 × 4096)
    floor (294.5)     		ty = 294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 563 / 294 ti = "12/563/294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/563/294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 563 ÷ 212
    563 ÷ 4096     		x = 0.137451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 294 ÷ 212
    294 ÷ 4096     		y = 0.07177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.137451171875 × 2 - 1) × π
    -0.72509765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.27796147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.07177734375 × 2 - 1) × π
    0.8564453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.69060230187451
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27796147} λ = -2.27796147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69060230187451))-π/2
    2×atan(14.7405515090877)-π/2
    2×1.50306004636215-π/2
    3.0061200927243-1.57079632675     		φ = 1.43532377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27796147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.517578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43532377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.237994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 563 KachelY 294 -2.27796147 1.43532377 -130.517578 82.237994
    Oben rechts KachelX + 1 564 KachelY 294 -2.27642749 1.43532377 -130.429688 82.237994
    Unten links KachelX 563 KachelY + 1 295 -2.27796147 1.43511643 -130.517578 82.226115
    Unten rechts KachelX + 1 564 KachelY + 1 295 -2.27642749 1.43511643 -130.429688 82.226115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43532377-1.43511643) × R
    0.00020734 × 6371000     		dl = 1320.96314m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43532377-1.43511643) × R
    0.00020734 × 6371000     		dr = 1320.96314m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27796147--2.27642749) × cos(1.43532377) × R
    0.00153398000000005 × 0.135058553119377 × 6371000     		do = 1319.92542714993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27796147--2.27642749) × cos(1.43511643) × R
    0.00153398000000005 × 0.135263990486754 × 6371000     		du = 1321.93316378434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43532377)-sin(1.43511643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.135058553119377-0.135263990486754)×R²
    abs(-2.27642749--2.27796147)×0.000205437367376687×R²
    0.00153398000000005×0.000205437367376687×6371000²
    0.00153398000000005×0.000205437367376687×40589641000000     		ar = 1744898.91610918m²