Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 563 / 1643
↖ ↑ ↗
← S 72.971189°
W 81.035156°		 ← 5 724.11 m → S 72.971189°
W 80.859375°		 →
↑
5 715.68 m
↓
↑
5 715.68 m
↓
S 73.022592°
W 81.035156°		 ← 5 707.34 m →
32 669 234 m²		 S 73.022592°
W 80.859375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1643 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275146484375 y=0.802490234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275146484375 × 211)
    floor (0.275146484375 × 2048)
    floor (563.5)     		tx = 563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802490234375 × 211)
    floor (0.802490234375 × 2048)
    floor (1643.5)     		ty = 1643
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 563 / 1643 ti = "11/563/1643"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/563/1643.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 563 ÷ 211
    563 ÷ 2048     		x = 0.27490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1643 ÷ 211
    1643 ÷ 2048     		y = 0.80224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27490234375 × 2 - 1) × π
    -0.4501953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41433029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80224609375 × 2 - 1) × π
    -0.6044921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.89906821534814
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41433029} λ = -1.41433029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89906821534814))-π/2
    2×atan(0.149708049916028)-π/2
    2×0.148604409633494-π/2
    0.297208819266988-1.57079632675     		φ = -1.27358751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41433029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.035156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27358751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.971189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 563 KachelY 1643 -1.41433029 -1.27358751 -81.035156 -72.971189
    Oben rechts KachelX + 1 564 KachelY 1643 -1.41126232 -1.27358751 -80.859375 -72.971189
    Unten links KachelX 563 KachelY + 1 1644 -1.41433029 -1.27448465 -81.035156 -73.022592
    Unten rechts KachelX + 1 564 KachelY + 1 1644 -1.41126232 -1.27448465 -80.859375 -73.022592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27358751--1.27448465) × R
    0.000897139999999963 × 6371000     		dl = 5715.67893999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27358751--1.27448465) × R
    0.000897139999999963 × 6371000     		dr = 5715.67893999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41433029--1.41126232) × cos(-1.27358751) × R
    0.00306797000000003 × 0.292852539805578 × 6371000     		do = 5724.10654051302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41433029--1.41126232) × cos(-1.27448465) × R
    0.00306797000000003 × 0.291994614822817 × 6371000     		du = 5707.33750716829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27358751)-sin(-1.27448465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292852539805578-0.291994614822817)×R²
    abs(-1.41126232--1.41433029)×0.000857924982760661×R²
    0.00306797000000003×0.000857924982760661×6371000²
    0.00306797000000003×0.000857924982760661×40589641000000     		ar = 32669234.1897457m²