Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 563 / 1639
↖ ↑ ↗
← S 72.764065°
W 81.035156°		 ← 5 791.63 m → S 72.764065°
W 80.859375°		 →
↑
5 783.08 m
↓
↑
5 783.08 m
↓
S 72.816073°
W 81.035156°		 ← 5 774.68 m →
33 444 480 m²		 S 72.816073°
W 80.859375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275146484375 y=0.800537109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275146484375 × 211)
    floor (0.275146484375 × 2048)
    floor (563.5)     		tx = 563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800537109375 × 211)
    floor (0.800537109375 × 2048)
    floor (1639.5)     		ty = 1639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 563 / 1639 ti = "11/563/1639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/563/1639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 563 ÷ 211
    563 ÷ 2048     		x = 0.27490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1639 ÷ 211
    1639 ÷ 2048     		y = 0.80029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27490234375 × 2 - 1) × π
    -0.4501953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41433029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80029296875 × 2 - 1) × π
    -0.6005859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.88679636904541
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41433029} λ = -1.41433029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88679636904541))-π/2
    2×atan(0.151556563232022)-π/2
    2×0.150411910128352-π/2
    0.300823820256704-1.57079632675     		φ = -1.26997251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41433029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.035156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26997251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.764065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 563 KachelY 1639 -1.41433029 -1.26997251 -81.035156 -72.764065
    Oben rechts KachelX + 1 564 KachelY 1639 -1.41126232 -1.26997251 -80.859375 -72.764065
    Unten links KachelX 563 KachelY + 1 1640 -1.41433029 -1.27088023 -81.035156 -72.816073
    Unten rechts KachelX + 1 564 KachelY + 1 1640 -1.41126232 -1.27088023 -80.859375 -72.816073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26997251--1.27088023) × R
    0.000907719999999834 × 6371000     		dl = 5783.08411999894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26997251--1.27088023) × R
    0.000907719999999834 × 6371000     		dr = 5783.08411999894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41433029--1.41126232) × cos(-1.26997251) × R
    0.00306797000000003 × 0.296307128535886 × 6371000     		do = 5791.63005920631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41433029--1.41126232) × cos(-1.27088023) × R
    0.00306797000000003 × 0.29544004982785 × 6371000     		du = 5774.68210680985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26997251)-sin(-1.27088023))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296307128535886-0.29544004982785)×R²
    abs(-1.41126232--1.41433029)×0.000867078708035651×R²
    0.00306797000000003×0.000867078708035651×6371000²
    0.00306797000000003×0.000867078708035651×40589641000000     		ar = 33444480.4035117m²