Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56296 / 43402
↖ ↑ ↗
← N 51.818803°
W 25.378418°		 ← 188.76 m → N 51.818803°
W 25.375672°		 →
↑
188.77 m
↓
↑
188.77 m
↓
N 51.817105°
W 25.378418°		 ← 188.77 m →
35 633 m²		 N 51.817105°
W 25.375672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429508209228516 y=0.331134796142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429508209228516 × 217)
    floor (0.429508209228516 × 131072)
    floor (56296.5)     		tx = 56296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331134796142578 × 217)
    floor (0.331134796142578 × 131072)
    floor (43402.5)     		ty = 43402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56296 / 43402 ti = "17/56296/43402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56296/43402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56296 ÷ 217
    56296 ÷ 131072     		x = 0.42950439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43402 ÷ 217
    43402 ÷ 131072     		y = 0.331130981445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42950439453125 × 2 - 1) × π
    -0.1409912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44293695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331130981445312 × 2 - 1) × π
    0.337738037109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.06103533619032
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44293695} λ = -0.44293695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06103533619032))-π/2
    2×atan(2.88936090112674)-π/2
    2×1.23760252424812-π/2
    2.47520504849623-1.57079632675     		φ = 0.90440872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44293695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.378418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90440872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.818803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56296 KachelY 43402 -0.44293695 0.90440872 -25.378418 51.818803
    Oben rechts KachelX + 1 56297 KachelY 43402 -0.44288902 0.90440872 -25.375672 51.818803
    Unten links KachelX 56296 KachelY + 1 43403 -0.44293695 0.90437909 -25.378418 51.817105
    Unten rechts KachelX + 1 56297 KachelY + 1 43403 -0.44288902 0.90437909 -25.375672 51.817105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90440872-0.90437909) × R
    2.96300000000027e-05 × 6371000     		dl = 188.772730000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90440872-0.90437909) × R
    2.96300000000027e-05 × 6371000     		dr = 188.772730000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44293695--0.44288902) × cos(0.90440872) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.618150469396773 × 6371000     		do = 188.759682180348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44293695--0.44288902) × cos(0.90437909) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.618173760077069 × 6371000     		du = 188.766794269764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90440872)-sin(0.90437909))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618150469396773-0.618173760077069)×R²
    abs(-0.44288902--0.44293695)×2.32906802960509e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.32906802960509e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.32906802960509e-05×40589641000000     		ar = 35633.3518058609m²