Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56294 / 87123
↖ ↑ ↗
← S 50.880510°
W 25.383911°		 ← 192.71 m → S 50.880510°
W 25.381165°		 →
↑
192.66 m
↓
↑
192.66 m
↓
S 50.882243°
W 25.383911°		 ← 192.70 m →
37 126 m²		 S 50.882243°
W 25.381165°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56294 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429492950439453 y=0.664699554443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429492950439453 × 217)
    floor (0.429492950439453 × 131072)
    floor (56294.5)     		tx = 56294
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664699554443359 × 217)
    floor (0.664699554443359 × 131072)
    floor (87123.5)     		ty = 87123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56294 / 87123 ti = "17/56294/87123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56294/87123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56294 ÷ 217
    56294 ÷ 131072     		x = 0.429489135742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87123 ÷ 217
    87123 ÷ 131072     		y = 0.664695739746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429489135742188 × 2 - 1) × π
    -0.141021728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44303283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664695739746094 × 2 - 1) × π
    -0.329391479492188 × 3.1415926535     		Φ = -1.03481385209815
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44303283} λ = -0.44303283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03481385209815))-π/2
    2×atan(0.355292511725306)-π/2
    2×0.341381949228541-π/2
    0.682763898457083-1.57079632675     		φ = -0.88803243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44303283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.383911°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88803243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.880510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56294 KachelY 87123 -0.44303283 -0.88803243 -25.383911 -50.880510
    Oben rechts KachelX + 1 56295 KachelY 87123 -0.44298489 -0.88803243 -25.381165 -50.880510
    Unten links KachelX 56294 KachelY + 1 87124 -0.44303283 -0.88806267 -25.383911 -50.882243
    Unten rechts KachelX + 1 56295 KachelY + 1 87124 -0.44298489 -0.88806267 -25.381165 -50.882243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88803243--0.88806267) × R
    3.02400000000702e-05 × 6371000     		dl = 192.659040000447m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88803243--0.88806267) × R
    3.02400000000702e-05 × 6371000     		dr = 192.659040000447m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44303283--0.44298489) × cos(-0.88803243) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.630939750314497 × 6371000     		do = 192.705240135094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44303283--0.44298489) × cos(-0.88806267) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.630916288871418 × 6371000     		du = 192.69807440648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88803243)-sin(-0.88806267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630939750314497-0.630916288871418)×R²
    abs(-0.44298489--0.44303283)×2.34614430786317e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34614430786317e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34614430786317e-05×40589641000000     		ar = 37125.7162991637m²