Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56293 / 29933
↖ ↑ ↗
← N 69.429586°
W 25.386658°		 ← 107.29 m → N 69.429586°
W 25.383911°		 →
↑
107.29 m
↓
↑
107.29 m
↓
N 69.428621°
W 25.386658°		 ← 107.30 m →
11 511 m²		 N 69.428621°
W 25.383911°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29933 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429485321044922 y=0.228374481201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429485321044922 × 217)
    floor (0.429485321044922 × 131072)
    floor (56293.5)     		tx = 56293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228374481201172 × 217)
    floor (0.228374481201172 × 131072)
    floor (29933.5)     		ty = 29933
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56293 / 29933 ti = "17/56293/29933"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56293/29933.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56293 ÷ 217
    56293 ÷ 131072     		x = 0.429481506347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29933 ÷ 217
    29933 ÷ 131072     		y = 0.228370666503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429481506347656 × 2 - 1) × π
    -0.141036987304688 × 3.1415926535     		Λ = -0.44308076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228370666503906 × 2 - 1) × π
    0.543258666992188 × 3.1415926535     		Φ = 1.70669743717286
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44308076} λ = -0.44308076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70669743717286))-π/2
    2×atan(5.51073185378342)-π/2
    2×1.39128559888037-π/2
    2.78257119776073-1.57079632675     		φ = 1.21177487
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44308076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.386658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21177487 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.429586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56293 KachelY 29933 -0.44308076 1.21177487 -25.386658 69.429586
    Oben rechts KachelX + 1 56294 KachelY 29933 -0.44303283 1.21177487 -25.383911 69.429586
    Unten links KachelX 56293 KachelY + 1 29934 -0.44308076 1.21175803 -25.386658 69.428621
    Unten rechts KachelX + 1 56294 KachelY + 1 29934 -0.44303283 1.21175803 -25.383911 69.428621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21177487-1.21175803) × R
    1.6840000000018e-05 × 6371000     		dl = 107.287640000114m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21177487-1.21175803) × R
    1.6840000000018e-05 × 6371000     		dr = 107.287640000114m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44308076--0.44303283) × cos(1.21177487) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.351358249284238 × 6371000     		do = 107.291468258747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44308076--0.44303283) × cos(1.21175803) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.351374015534392 × 6371000     		du = 107.296282672899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21177487)-sin(1.21175803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351358249284238-0.351374015534392)×R²
    abs(-0.44303283--0.44308076)×1.57662501533151e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.57662501533151e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.57662501533151e-05×40589641000000     		ar = 11511.3066855975m²