Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56293 / 16163
↖ ↑ ↗
← N 79.284781°
W 25.386658°		 ← 56.78 m → N 79.284781°
W 25.383911°		 →
↑
56.83 m
↓
↑
56.83 m
↓
N 79.284270°
W 25.386658°		 ← 56.78 m →
3 227 m²		 N 79.284270°
W 25.383911°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429485321044922 y=0.123317718505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429485321044922 × 217)
    floor (0.429485321044922 × 131072)
    floor (56293.5)     		tx = 56293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123317718505859 × 217)
    floor (0.123317718505859 × 131072)
    floor (16163.5)     		ty = 16163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56293 / 16163 ti = "17/56293/16163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56293/16163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56293 ÷ 217
    56293 ÷ 131072     		x = 0.429481506347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16163 ÷ 217
    16163 ÷ 131072     		y = 0.123313903808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429481506347656 × 2 - 1) × π
    -0.141036987304688 × 3.1415926535     		Λ = -0.44308076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123313903808594 × 2 - 1) × π
    0.753372192382812 × 3.1415926535     		Φ = 2.36678854494103
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44308076} λ = -0.44308076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36678854494103))-π/2
    2×atan(10.6630931940142)-π/2
    2×1.47728840145627-π/2
    2.95457680291254-1.57079632675     		φ = 1.38378048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44308076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.386658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38378048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.284781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56293 KachelY 16163 -0.44308076 1.38378048 -25.386658 79.284781
    Oben rechts KachelX + 1 56294 KachelY 16163 -0.44303283 1.38378048 -25.383911 79.284781
    Unten links KachelX 56293 KachelY + 1 16164 -0.44308076 1.38377156 -25.386658 79.284270
    Unten rechts KachelX + 1 56294 KachelY + 1 16164 -0.44303283 1.38377156 -25.383911 79.284270
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38378048-1.38377156) × R
    8.91999999996784e-06 × 6371000     		dl = 56.8293199997951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38378048-1.38377156) × R
    8.91999999996784e-06 × 6371000     		dr = 56.8293199997951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44308076--0.44303283) × cos(1.38378048) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185927607330517 × 6371000     		do = 56.7752316075244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44308076--0.44303283) × cos(1.38377156) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185936371789056 × 6371000     		du = 56.7779079403756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38378048)-sin(1.38377156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185927607330517-0.185936371789056)×R²
    abs(-0.44303283--0.44308076)×8.7644585387292e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.7644585387292e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.7644585387292e-06×40589641000000     		ar = 3226.57385220014m²