Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56292 / 43403
↖ ↑ ↗
← N 51.817105°
W 25.389404°		 ← 188.81 m → N 51.817105°
W 25.386658°		 →
↑
188.77 m
↓
↑
188.77 m
↓
N 51.815407°
W 25.389404°		 ← 188.81 m →
35 642 m²		 N 51.815407°
W 25.386658°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429477691650391 y=0.331142425537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429477691650391 × 217)
    floor (0.429477691650391 × 131072)
    floor (56292.5)     		tx = 56292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331142425537109 × 217)
    floor (0.331142425537109 × 131072)
    floor (43403.5)     		ty = 43403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56292 / 43403 ti = "17/56292/43403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56292/43403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56292 ÷ 217
    56292 ÷ 131072     		x = 0.429473876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43403 ÷ 217
    43403 ÷ 131072     		y = 0.331138610839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429473876953125 × 2 - 1) × π
    -0.14105224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44312870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331138610839844 × 2 - 1) × π
    0.337722778320312 × 3.1415926535     		Φ = 1.0609873992907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44312870} λ = -0.44312870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0609873992907))-π/2
    2×atan(2.889222397443)-π/2
    2×1.2375877078605-π/2
    2.475175415721-1.57079632675     		φ = 0.90437909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44312870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.389404°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90437909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.817105°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56292 KachelY 43403 -0.44312870 0.90437909 -25.389404 51.817105
    Oben rechts KachelX + 1 56293 KachelY 43403 -0.44308076 0.90437909 -25.386658 51.817105
    Unten links KachelX 56292 KachelY + 1 43404 -0.44312870 0.90434946 -25.389404 51.815407
    Unten rechts KachelX + 1 56293 KachelY + 1 43404 -0.44308076 0.90434946 -25.386658 51.815407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90437909-0.90434946) × R
    2.96300000000027e-05 × 6371000     		dl = 188.772730000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90437909-0.90434946) × R
    2.96300000000027e-05 × 6371000     		dr = 188.772730000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44312870--0.44308076) × cos(0.90437909) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.618173760077069 × 6371000     		do = 188.806178119997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44312870--0.44308076) × cos(0.90434946) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.618197050214648 × 6371000     		du = 188.813291527502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90437909)-sin(0.90434946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618173760077069-0.618197050214648)×R²
    abs(-0.44308076--0.44312870)×2.32901375785133e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32901375785133e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32901375785133e-05×40589641000000     		ar = 35642.1290958363m²