Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56291 / 43361
↖ ↑ ↗
← N 51.888359°
W 25.392151°		 ← 188.51 m → N 51.888359°
W 25.389404°		 →
↑
188.45 m
↓
↑
188.45 m
↓
N 51.886664°
W 25.392151°		 ← 188.51 m →
35 526 m²		 N 51.886664°
W 25.389404°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43361 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429470062255859 y=0.330821990966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429470062255859 × 217)
    floor (0.429470062255859 × 131072)
    floor (56291.5)     		tx = 56291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330821990966797 × 217)
    floor (0.330821990966797 × 131072)
    floor (43361.5)     		ty = 43361
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56291 / 43361 ti = "17/56291/43361"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56291/43361.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56291 ÷ 217
    56291 ÷ 131072     		x = 0.429466247558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43361 ÷ 217
    43361 ÷ 131072     		y = 0.330818176269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429466247558594 × 2 - 1) × π
    -0.141067504882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.44317664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330818176269531 × 2 - 1) × π
    0.338363647460938 × 3.1415926535     		Φ = 1.06300074907475
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44317664} λ = -0.44317664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06300074907475))-π/2
    2×atan(2.89504527250812)-π/2
    2×1.23820951554518-π/2
    2.47641903109037-1.57079632675     		φ = 0.90562270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44317664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.392151°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90562270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.888359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56291 KachelY 43361 -0.44317664 0.90562270 -25.392151 51.888359
    Oben rechts KachelX + 1 56292 KachelY 43361 -0.44312870 0.90562270 -25.389404 51.888359
    Unten links KachelX 56291 KachelY + 1 43362 -0.44317664 0.90559312 -25.392151 51.886664
    Unten rechts KachelX + 1 56292 KachelY + 1 43362 -0.44312870 0.90559312 -25.389404 51.886664
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90562270-0.90559312) × R
    2.95799999999735e-05 × 6371000     		dl = 188.454179999831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90562270-0.90559312) × R
    2.95799999999735e-05 × 6371000     		dr = 188.454179999831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44317664--0.44312870) × cos(0.90562270) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.617195753265639 × 6371000     		do = 188.50746966611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44317664--0.44312870) × cos(0.90559312) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.617219026824631 × 6371000     		du = 188.514578010087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90562270)-sin(0.90559312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617195753265639-0.617219026824631)×R²
    abs(-0.44312870--0.44317664)×2.32735589920097e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.32735589920097e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.32735589920097e-05×40589641000000     		ar = 35525.6904210204m²