Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56290 / 16162
↖ ↑ ↗
← N 79.285292°
W 25.394897°		 ← 56.77 m → N 79.285292°
W 25.392151°		 →
↑
56.77 m
↓
↑
56.77 m
↓
N 79.284781°
W 25.394897°		 ← 56.78 m →
3 223 m²		 N 79.284781°
W 25.392151°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16162 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429462432861328 y=0.123310089111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429462432861328 × 217)
    floor (0.429462432861328 × 131072)
    floor (56290.5)     		tx = 56290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123310089111328 × 217)
    floor (0.123310089111328 × 131072)
    floor (16162.5)     		ty = 16162
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56290 / 16162 ti = "17/56290/16162"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56290/16162.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56290 ÷ 217
    56290 ÷ 131072     		x = 0.429458618164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16162 ÷ 217
    16162 ÷ 131072     		y = 0.123306274414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429458618164062 × 2 - 1) × π
    -0.141082763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44322457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123306274414062 × 2 - 1) × π
    0.753387451171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.36683648184065
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44322457} λ = -0.44322457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36683648184065))-π/2
    2×atan(10.663604361894)-π/2
    2×1.47729285774794-π/2
    2.95458571549587-1.57079632675     		φ = 1.38378939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44322457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.394897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38378939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.285292°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56290 KachelY 16162 -0.44322457 1.38378939 -25.394897 79.285292
    Oben rechts KachelX + 1 56291 KachelY 16162 -0.44317664 1.38378939 -25.392151 79.285292
    Unten links KachelX 56290 KachelY + 1 16163 -0.44322457 1.38378048 -25.394897 79.284781
    Unten rechts KachelX + 1 56291 KachelY + 1 16163 -0.44317664 1.38378048 -25.392151 79.284781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38378939-1.38378048) × R
    8.91000000002862e-06 × 6371000     		dl = 56.7656100001823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38378939-1.38378048) × R
    8.91000000002862e-06 × 6371000     		dr = 56.7656100001823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44322457--0.44317664) × cos(1.38378939) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.185918852682836 × 6371000     		do = 56.7725582704707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44322457--0.44317664) × cos(1.38378048) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.185927607330517 × 6371000     		du = 56.7752316074586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38378939)-sin(1.38378048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185918852682836-0.185927607330517)×R²
    abs(-0.44317664--0.44322457)×8.7546476813527e-06×R²
    4.79299999999738e-05×8.7546476813527e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×8.7546476813527e-06×40589641000000     		ar = 3222.80477834918m²