Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56289 / 16156
↖ ↑ ↗
← N 79.288355°
W 25.397644°		 ← 56.77 m → N 79.288355°
W 25.394897°		 →
↑
56.77 m
↓
↑
56.77 m
↓
N 79.287845°
W 25.397644°		 ← 56.77 m →
3 223 m²		 N 79.287845°
W 25.394897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429454803466797 y=0.123264312744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429454803466797 × 217)
    floor (0.429454803466797 × 131072)
    floor (56289.5)     		tx = 56289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123264312744141 × 217)
    floor (0.123264312744141 × 131072)
    floor (16156.5)     		ty = 16156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56289 / 16156 ti = "17/56289/16156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56289/16156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56289 ÷ 217
    56289 ÷ 131072     		x = 0.429450988769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16156 ÷ 217
    16156 ÷ 131072     		y = 0.123260498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429450988769531 × 2 - 1) × π
    -0.141098022460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.44327251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123260498046875 × 2 - 1) × π
    0.75347900390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.36712410323837
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44327251} λ = -0.44327251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36712410323837))-π/2
    2×atan(10.6666718838067)-π/2
    2×1.47731959109055-π/2
    2.95463918218111-1.57079632675     		φ = 1.38384286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44327251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.397644°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38384286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.288355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56289 KachelY 16156 -0.44327251 1.38384286 -25.397644 79.288355
    Oben rechts KachelX + 1 56290 KachelY 16156 -0.44322457 1.38384286 -25.394897 79.288355
    Unten links KachelX 56289 KachelY + 1 16157 -0.44327251 1.38383395 -25.397644 79.287845
    Unten rechts KachelX + 1 56290 KachelY + 1 16157 -0.44322457 1.38383395 -25.394897 79.287845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38384286-1.38383395) × R
    8.90999999980657e-06 × 6371000     		dl = 56.7656099987677m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38384286-1.38383395) × R
    8.90999999980657e-06 × 6371000     		dr = 56.7656099987677m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44327251--0.44322457) × cos(1.38384286) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.185866314661067 × 6371000     		do = 56.7683566964579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44327251--0.44322457) × cos(1.38383395) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.185875069397313 × 6371000     		du = 56.7710306182542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38384286)-sin(1.38383395))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185866314661067-0.185875069397313)×R²
    abs(-0.44322457--0.44327251)×8.75473624573075e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.75473624573075e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.75473624573075e-06×40589641000000     		ar = 3222.56628992401m²