Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56288 / 43362
↖ ↑ ↗
← N 51.886664°
W 25.400391°		 ← 188.51 m → N 51.886664°
W 25.397644°		 →
↑
188.52 m
↓
↑
188.52 m
↓
N 51.884968°
W 25.400391°		 ← 188.52 m →
35 539 m²		 N 51.884968°
W 25.397644°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429447174072266 y=0.330829620361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429447174072266 × 217)
    floor (0.429447174072266 × 131072)
    floor (56288.5)     		tx = 56288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330829620361328 × 217)
    floor (0.330829620361328 × 131072)
    floor (43362.5)     		ty = 43362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56288 / 43362 ti = "17/56288/43362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56288/43362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56288 ÷ 217
    56288 ÷ 131072     		x = 0.429443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43362 ÷ 217
    43362 ÷ 131072     		y = 0.330825805664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429443359375 × 2 - 1) × π
    -0.14111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44332045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330825805664062 × 2 - 1) × π
    0.338348388671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06295281217513
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44332045} λ = -0.44332045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06295281217513))-π/2
    2×atan(2.89490649633977)-π/2
    2×1.23819472204085-π/2
    2.4763894440817-1.57079632675     		φ = 0.90559312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44332045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.400391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90559312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.886664°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56288 KachelY 43362 -0.44332045 0.90559312 -25.400391 51.886664
    Oben rechts KachelX + 1 56289 KachelY 43362 -0.44327251 0.90559312 -25.397644 51.886664
    Unten links KachelX 56288 KachelY + 1 43363 -0.44332045 0.90556353 -25.400391 51.884968
    Unten rechts KachelX + 1 56289 KachelY + 1 43363 -0.44327251 0.90556353 -25.397644 51.884968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90559312-0.90556353) × R
    2.95900000000238e-05 × 6371000     		dl = 188.517890000151m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90559312-0.90556353) × R
    2.95900000000238e-05 × 6371000     		dr = 188.517890000151m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44332045--0.44327251) × cos(0.90559312) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.617219026824631 × 6371000     		do = 188.514578009869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44332045--0.44327251) × cos(0.90556353) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.617242307711302 × 6371000     		du = 188.521688591908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90559312)-sin(0.90556353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617219026824631-0.617242307711302)×R²
    abs(-0.44327251--0.44332045)×2.32808866710288e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32808866710288e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32808866710288e-05×40589641000000     		ar = 35539.0407192083m²