Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56288 / 16155
↖ ↑ ↗
← N 79.288866°
W 25.400391°		 ← 56.77 m → N 79.288866°
W 25.397644°		 →
↑
56.77 m
↓
↑
56.77 m
↓
N 79.288355°
W 25.400391°		 ← 56.77 m →
3 222 m²		 N 79.288355°
W 25.397644°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16155 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429447174072266 y=0.123256683349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429447174072266 × 217)
    floor (0.429447174072266 × 131072)
    floor (56288.5)     		tx = 56288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123256683349609 × 217)
    floor (0.123256683349609 × 131072)
    floor (16155.5)     		ty = 16155
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56288 / 16155 ti = "17/56288/16155"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56288/16155.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56288 ÷ 217
    56288 ÷ 131072     		x = 0.429443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16155 ÷ 217
    16155 ÷ 131072     		y = 0.123252868652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429443359375 × 2 - 1) × π
    -0.14111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44332045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123252868652344 × 2 - 1) × π
    0.753494262695312 × 3.1415926535     		Φ = 2.36717204013799
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44332045} λ = -0.44332045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36717204013799))-π/2
    2×atan(10.667183223242)-π/2
    2×1.47732404591318-π/2
    2.95464809182636-1.57079632675     		φ = 1.38385177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44332045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.400391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38385177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.288866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56288 KachelY 16155 -0.44332045 1.38385177 -25.400391 79.288866
    Oben rechts KachelX + 1 56289 KachelY 16155 -0.44327251 1.38385177 -25.397644 79.288866
    Unten links KachelX 56288 KachelY + 1 16156 -0.44332045 1.38384286 -25.400391 79.288355
    Unten rechts KachelX + 1 56289 KachelY + 1 16156 -0.44327251 1.38384286 -25.397644 79.288355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38385177-1.38384286) × R
    8.91000000002862e-06 × 6371000     		dl = 56.7656100001823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38385177-1.38384286) × R
    8.91000000002862e-06 × 6371000     		dr = 56.7656100001823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44332045--0.44327251) × cos(1.38385177) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185857559910066 × 6371000     		do = 56.765682770089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44332045--0.44327251) × cos(1.38384286) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185866314661067 × 6371000     		du = 56.7683566963922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38385177)-sin(1.38384286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185857559910066-0.185866314661067)×R²
    abs(-0.44327251--0.44332045)×8.75475100151069e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.75475100151069e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.75475100151069e-06×40589641000000     		ar = 3222.41450309147m²