Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56287 / 43363
↖ ↑ ↗
← N 51.884968°
W 25.403137°		 ← 188.48 m → N 51.884968°
W 25.400391°		 →
↑
188.52 m
↓
↑
188.52 m
↓
N 51.883273°
W 25.403137°		 ← 188.49 m →
35 533 m²		 N 51.883273°
W 25.400391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429439544677734 y=0.330837249755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429439544677734 × 217)
    floor (0.429439544677734 × 131072)
    floor (56287.5)     		tx = 56287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330837249755859 × 217)
    floor (0.330837249755859 × 131072)
    floor (43363.5)     		ty = 43363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56287 / 43363 ti = "17/56287/43363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56287/43363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56287 ÷ 217
    56287 ÷ 131072     		x = 0.429435729980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43363 ÷ 217
    43363 ÷ 131072     		y = 0.330833435058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429435729980469 × 2 - 1) × π
    -0.141128540039062 × 3.1415926535     		Λ = -0.44336838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330833435058594 × 2 - 1) × π
    0.338333129882812 × 3.1415926535     		Φ = 1.06290487527551
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44336838} λ = -0.44336838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06290487527551))-π/2
    2×atan(2.89476772682376)-π/2
    2×1.23817992797855-π/2
    2.47635985595709-1.57079632675     		φ = 0.90556353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44336838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.403137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90556353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.884968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56287 KachelY 43363 -0.44336838 0.90556353 -25.403137 51.884968
    Oben rechts KachelX + 1 56288 KachelY 43363 -0.44332045 0.90556353 -25.400391 51.884968
    Unten links KachelX 56287 KachelY + 1 43364 -0.44336838 0.90553394 -25.403137 51.883273
    Unten rechts KachelX + 1 56288 KachelY + 1 43364 -0.44332045 0.90553394 -25.400391 51.883273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90556353-0.90553394) × R
    2.95900000000238e-05 × 6371000     		dl = 188.517890000151m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90556353-0.90553394) × R
    2.95900000000238e-05 × 6371000     		dr = 188.517890000151m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44336838--0.44332045) × cos(0.90556353) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.617242307711302 × 6371000     		do = 188.482364084723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44336838--0.44332045) × cos(0.90553394) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.617265588057535 × 6371000     		du = 188.489473018508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90556353)-sin(0.90553394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617242307711302-0.617265588057535)×R²
    abs(-0.44332045--0.44336838)×2.32803462334452e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.32803462334452e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.32803462334452e-05×40589641000000     		ar = 35532.9676627899m²