Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56286 / 86953
↖ ↑ ↗
← S 50.584980°
W 25.405884°		 ← 193.92 m → S 50.584980°
W 25.403137°		 →
↑
193.93 m
↓
↑
193.93 m
↓
S 50.586724°
W 25.405884°		 ← 193.92 m →
37 608 m²		 S 50.586724°
W 25.403137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86953 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429431915283203 y=0.663402557373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429431915283203 × 217)
    floor (0.429431915283203 × 131072)
    floor (56286.5)     		tx = 56286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663402557373047 × 217)
    floor (0.663402557373047 × 131072)
    floor (86953.5)     		ty = 86953
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56286 / 86953 ti = "17/56286/86953"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56286/86953.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56286 ÷ 217
    56286 ÷ 131072     		x = 0.429428100585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86953 ÷ 217
    86953 ÷ 131072     		y = 0.663398742675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429428100585938 × 2 - 1) × π
    -0.141143798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44341632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663398742675781 × 2 - 1) × π
    -0.326797485351562 × 3.1415926535     		Φ = -1.02666457916274
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44341632} λ = -0.44341632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02666457916274))-π/2
    2×atan(0.358199717091167)-π/2
    2×0.343960932142043-π/2
    0.687921864284086-1.57079632675     		φ = -0.88287446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44341632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.405884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88287446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.584980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56286 KachelY 86953 -0.44341632 -0.88287446 -25.405884 -50.584980
    Oben rechts KachelX + 1 56287 KachelY 86953 -0.44336838 -0.88287446 -25.403137 -50.584980
    Unten links KachelX 56286 KachelY + 1 86954 -0.44341632 -0.88290490 -25.405884 -50.586724
    Unten rechts KachelX + 1 56287 KachelY + 1 86954 -0.44336838 -0.88290490 -25.403137 -50.586724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88287446--0.88290490) × R
    3.04399999999649e-05 × 6371000     		dl = 193.933239999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88287446--0.88290490) × R
    3.04399999999649e-05 × 6371000     		dr = 193.933239999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44341632--0.44336838) × cos(-0.88287446) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.6349330569363 × 6371000     		do = 193.924898765105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44341632--0.44336838) × cos(-0.88290490) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.63490953969786 × 6371000     		du = 193.917715995151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88287446)-sin(-0.88290490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6349330569363-0.63490953969786)×R²
    abs(-0.44336838--0.44341632)×2.35172384401849e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35172384401849e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35172384401849e-05×40589641000000     		ar = 37607.7874481951m²