Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56286 / 16154
↖ ↑ ↗
← N 79.289376°
W 25.405884°		 ← 56.76 m → N 79.289376°
W 25.403137°		 →
↑
56.70 m
↓
↑
56.70 m
↓
N 79.288866°
W 25.405884°		 ← 56.77 m →
3 219 m²		 N 79.288866°
W 25.403137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429431915283203 y=0.123249053955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429431915283203 × 217)
    floor (0.429431915283203 × 131072)
    floor (56286.5)     		tx = 56286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123249053955078 × 217)
    floor (0.123249053955078 × 131072)
    floor (16154.5)     		ty = 16154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56286 / 16154 ti = "17/56286/16154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56286/16154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56286 ÷ 217
    56286 ÷ 131072     		x = 0.429428100585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16154 ÷ 217
    16154 ÷ 131072     		y = 0.123245239257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429428100585938 × 2 - 1) × π
    -0.141143798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44341632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123245239257812 × 2 - 1) × π
    0.753509521484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.36721997703761
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44341632} λ = -0.44341632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36721997703761))-π/2
    2×atan(10.6676945871899)-π/2
    2×1.47732850052598-π/2
    2.95465700105197-1.57079632675     		φ = 1.38386067
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44341632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.405884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38386067 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.289376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56286 KachelY 16154 -0.44341632 1.38386067 -25.405884 79.289376
    Oben rechts KachelX + 1 56287 KachelY 16154 -0.44336838 1.38386067 -25.403137 79.289376
    Unten links KachelX 56286 KachelY + 1 16155 -0.44341632 1.38385177 -25.405884 79.288866
    Unten rechts KachelX + 1 56287 KachelY + 1 16155 -0.44336838 1.38385177 -25.403137 79.288866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38386067-1.38385177) × R
    8.90000000008939e-06 × 6371000     		dl = 56.7019000005695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38386067-1.38385177) × R
    8.90000000008939e-06 × 6371000     		dr = 56.7019000005695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44341632--0.44336838) × cos(1.38386067) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185848814970093 × 6371000     		do = 56.7630118403265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44341632--0.44336838) × cos(1.38385177) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185857559910066 × 6371000     		du = 56.765682770089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38386067)-sin(1.38385177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185848814970093-0.185857559910066)×R²
    abs(-0.44336838--0.44341632)×8.74493997293779e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.74493997293779e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.74493997293779e-06×40589641000000     		ar = 3218.64634457889m²