Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56285 / 29541
↖ ↑ ↗
← N 69.804568°
W 25.408630°		 ← 105.44 m → N 69.804568°
W 25.405884°		 →
↑
105.44 m
↓
↑
105.44 m
↓
N 69.803620°
W 25.408630°		 ← 105.44 m →
11 118 m²		 N 69.803620°
W 25.405884°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429424285888672 y=0.225383758544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429424285888672 × 217)
    floor (0.429424285888672 × 131072)
    floor (56285.5)     		tx = 56285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225383758544922 × 217)
    floor (0.225383758544922 × 131072)
    floor (29541.5)     		ty = 29541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56285 / 29541 ti = "17/56285/29541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56285/29541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56285 ÷ 217
    56285 ÷ 131072     		x = 0.429420471191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29541 ÷ 217
    29541 ÷ 131072     		y = 0.225379943847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429420471191406 × 2 - 1) × π
    -0.141159057617188 × 3.1415926535     		Λ = -0.44346426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225379943847656 × 2 - 1) × π
    0.549240112304688 × 3.1415926535     		Φ = 1.72548870182392
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44346426} λ = -0.44346426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72548870182392))-π/2
    2×atan(5.61526454928408)-π/2
    2×1.39455793833586-π/2
    2.78911587667173-1.57079632675     		φ = 1.21831955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44346426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.408630°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21831955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.804568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56285 KachelY 29541 -0.44346426 1.21831955 -25.408630 69.804568
    Oben rechts KachelX + 1 56286 KachelY 29541 -0.44341632 1.21831955 -25.405884 69.804568
    Unten links KachelX 56285 KachelY + 1 29542 -0.44346426 1.21830300 -25.408630 69.803620
    Unten rechts KachelX + 1 56286 KachelY + 1 29542 -0.44341632 1.21830300 -25.405884 69.803620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21831955-1.21830300) × R
    1.65500000000041e-05 × 6371000     		dl = 105.440050000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21831955-1.21830300) × R
    1.65500000000041e-05 × 6371000     		dr = 105.440050000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44346426--0.44341632) × cos(1.21831955) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.345223369874039 × 6371000     		do = 105.440103209125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44346426--0.44341632) × cos(1.21830300) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.345238902341881 × 6371000     		du = 105.44484722461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21831955)-sin(1.21830300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345223369874039-0.345238902341881)×R²
    abs(-0.44341632--0.44346426)×1.55324678417501e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.55324678417501e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.55324678417501e-05×40589641000000     		ar = 11117.8598591273m²