Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56282 / 43369
↖ ↑ ↗
← N 51.874795°
W 25.416870°		 ← 188.56 m → N 51.874795°
W 25.414123°		 →
↑
188.58 m
↓
↑
188.58 m
↓
N 51.873100°
W 25.416870°		 ← 188.57 m →
35 560 m²		 N 51.873100°
W 25.414123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429401397705078 y=0.330883026123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429401397705078 × 217)
    floor (0.429401397705078 × 131072)
    floor (56282.5)     		tx = 56282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330883026123047 × 217)
    floor (0.330883026123047 × 131072)
    floor (43369.5)     		ty = 43369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56282 / 43369 ti = "17/56282/43369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56282/43369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56282 ÷ 217
    56282 ÷ 131072     		x = 0.429397583007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43369 ÷ 217
    43369 ÷ 131072     		y = 0.330879211425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429397583007812 × 2 - 1) × π
    -0.141204833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44360807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330879211425781 × 2 - 1) × π
    0.338241577148438 × 3.1415926535     		Φ = 1.06261725387778
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44360807} λ = -0.44360807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06261725387778))-π/2
    2×atan(2.893935249409)-π/2
    2×1.23809115188696-π/2
    2.47618230377393-1.57079632675     		φ = 0.90538598
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44360807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.416870°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90538598 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.874795°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56282 KachelY 43369 -0.44360807 0.90538598 -25.416870 51.874795
    Oben rechts KachelX + 1 56283 KachelY 43369 -0.44356013 0.90538598 -25.414123 51.874795
    Unten links KachelX 56282 KachelY + 1 43370 -0.44360807 0.90535638 -25.416870 51.873100
    Unten rechts KachelX + 1 56283 KachelY + 1 43370 -0.44356013 0.90535638 -25.414123 51.873100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90538598-0.90535638) × R
    2.9600000000074e-05 × 6371000     		dl = 188.581600000472m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90538598-0.90535638) × R
    2.9600000000074e-05 × 6371000     		dr = 188.581600000472m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44360807--0.44356013) × cos(0.90538598) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.617381989548059 × 6371000     		do = 188.564351020483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44360807--0.44356013) × cos(0.90535638) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.617405274517508 × 6371000     		du = 188.571462849508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90538598)-sin(0.90535638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617381989548059-0.617405274517508)×R²
    abs(-0.44356013--0.44360807)×2.32849694490334e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.32849694490334e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.32849694490334e-05×40589641000000     		ar = 35560.4376012837m²