Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56281 / 43304
↖ ↑ ↗
← N 51.984880°
W 25.419617°		 ← 188.10 m → N 51.984880°
W 25.416870°		 →
↑
188.07 m
↓
↑
188.07 m
↓
N 51.983189°
W 25.419617°		 ← 188.11 m →
35 377 m²		 N 51.983189°
W 25.416870°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429393768310547 y=0.330387115478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429393768310547 × 217)
    floor (0.429393768310547 × 131072)
    floor (56281.5)     		tx = 56281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330387115478516 × 217)
    floor (0.330387115478516 × 131072)
    floor (43304.5)     		ty = 43304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56281 / 43304 ti = "17/56281/43304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56281/43304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56281 ÷ 217
    56281 ÷ 131072     		x = 0.429389953613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43304 ÷ 217
    43304 ÷ 131072     		y = 0.33038330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429389953613281 × 2 - 1) × π
    -0.141220092773438 × 3.1415926535     		Λ = -0.44365601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33038330078125 × 2 - 1) × π
    0.3392333984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.06573315235309
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44365601} λ = -0.44365601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06573315235309))-π/2
    2×atan(2.90296652079571)-π/2
    2×1.23905182323615-π/2
    2.47810364647229-1.57079632675     		φ = 0.90730732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44365601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.419617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90730732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.984880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56281 KachelY 43304 -0.44365601 0.90730732 -25.419617 51.984880
    Oben rechts KachelX + 1 56282 KachelY 43304 -0.44360807 0.90730732 -25.416870 51.984880
    Unten links KachelX 56281 KachelY + 1 43305 -0.44365601 0.90727780 -25.419617 51.983189
    Unten rechts KachelX + 1 56282 KachelY + 1 43305 -0.44360807 0.90727780 -25.416870 51.983189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90730732-0.90727780) × R
    2.95200000000051e-05 × 6371000     		dl = 188.071920000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90730732-0.90727780) × R
    2.95200000000051e-05 × 6371000     		dr = 188.071920000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44365601--0.44360807) × cos(0.90730732) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.615869402861357 × 6371000     		do = 188.102368112165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44365601--0.44360807) × cos(0.90727780) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.615892659873605 × 6371000     		du = 188.109471402341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90730732)-sin(0.90727780))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615869402861357-0.615892659873605)×R²
    abs(-0.44360807--0.44365601)×2.32570122475906e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32570122475906e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32570122475906e-05×40589641000000     		ar = 35377.4414948707m²