Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5628 / 9738
↖ ↑ ↗
← S 32.138409°
W 56.337891°		 ← 2 068.88 m → S 32.138409°
W 56.315918°		 →
↑
2 068.66 m
↓
↑
2 068.66 m
↓
S 32.157013°
W 56.337891°		 ← 2 068.46 m →
4 279 389 m²		 S 32.157013°
W 56.315918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5628 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343536376953125 y=0.594390869140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343536376953125 × 214)
    floor (0.343536376953125 × 16384)
    floor (5628.5)     		tx = 5628
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.594390869140625 × 214)
    floor (0.594390869140625 × 16384)
    floor (9738.5)     		ty = 9738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5628 / 9738 ti = "14/5628/9738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5628/9738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5628 ÷ 214
    5628 ÷ 16384     		x = 0.343505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9738 ÷ 214
    9738 ÷ 16384     		y = 0.5943603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343505859375 × 2 - 1) × π
    -0.31298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.98328169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5943603515625 × 2 - 1) × π
    -0.188720703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.592883574500854
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98328169} λ = -0.98328169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.592883574500854))-π/2
    2×atan(0.552731143113751)-π/2
    2×0.504937639349493-π/2
    1.00987527869899-1.57079632675     		φ = -0.56092105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98328169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.337891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56092105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.138409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5628 KachelY 9738 -0.98328169 -0.56092105 -56.337891 -32.138409
    Oben rechts KachelX + 1 5629 KachelY 9738 -0.98289819 -0.56092105 -56.315918 -32.138409
    Unten links KachelX 5628 KachelY + 1 9739 -0.98328169 -0.56124575 -56.337891 -32.157013
    Unten rechts KachelX + 1 5629 KachelY + 1 9739 -0.98289819 -0.56124575 -56.315918 -32.157013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56092105--0.56124575) × R
    0.000324699999999956 × 6371000     		dl = 2068.66369999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56092105--0.56124575) × R
    0.000324699999999956 × 6371000     		dr = 2068.66369999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98328169--0.98289819) × cos(-0.56092105) × R
    0.000383499999999981 × 0.846765502657742 × 6371000     		do = 2068.88394718525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98328169--0.98289819) × cos(-0.56124575) × R
    0.000383499999999981 × 0.846592728553931 × 6371000     		du = 2068.46181193205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56092105)-sin(-0.56124575))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.846765502657742-0.846592728553931)×R²
    abs(-0.98289819--0.98328169)×0.000172774103811224×R²
    0.000383499999999981×0.000172774103811224×6371000²
    0.000383499999999981×0.000172774103811224×40589641000000     		ar = 4279388.53071519m²