Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56278 / 44277
↖ ↑ ↗
← N 50.308638°
W 25.427857°		 ← 195.06 m → N 50.308638°
W 25.425110°		 →
↑
195.02 m
↓
↑
195.02 m
↓
N 50.306884°
W 25.427857°		 ← 195.07 m →
38 041 m²		 N 50.306884°
W 25.425110°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429370880126953 y=0.337810516357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429370880126953 × 217)
    floor (0.429370880126953 × 131072)
    floor (56278.5)     		tx = 56278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337810516357422 × 217)
    floor (0.337810516357422 × 131072)
    floor (44277.5)     		ty = 44277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56278 / 44277 ti = "17/56278/44277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56278/44277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56278 ÷ 217
    56278 ÷ 131072     		x = 0.429367065429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44277 ÷ 217
    44277 ÷ 131072     		y = 0.337806701660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429367065429688 × 2 - 1) × π
    -0.141265869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44379982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337806701660156 × 2 - 1) × π
    0.324386596679688 × 3.1415926535     		Φ = 1.01909054902277
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44379982} λ = -0.44379982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01909054902277))-π/2
    2×atan(2.77067382578477)-π/2
    2×1.22442385429441-π/2
    2.44884770858881-1.57079632675     		φ = 0.87805138
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44379982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.427857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87805138 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.308638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56278 KachelY 44277 -0.44379982 0.87805138 -25.427857 50.308638
    Oben rechts KachelX + 1 56279 KachelY 44277 -0.44375188 0.87805138 -25.425110 50.308638
    Unten links KachelX 56278 KachelY + 1 44278 -0.44379982 0.87802077 -25.427857 50.306884
    Unten rechts KachelX + 1 56279 KachelY + 1 44278 -0.44375188 0.87802077 -25.425110 50.306884
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87805138-0.87802077) × R
    3.0610000000042e-05 × 6371000     		dl = 195.016310000268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87805138-0.87802077) × R
    3.0610000000042e-05 × 6371000     		dr = 195.016310000268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44379982--0.44375188) × cos(0.87805138) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.638651810773049 × 6371000     		do = 195.060701907797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44379982--0.44375188) × cos(0.87802077) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.638675364741843 × 6371000     		du = 195.067895896145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87805138)-sin(0.87802077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638651810773049-0.638675364741843)×R²
    abs(-0.44375188--0.44379982)×2.35539687937214e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35539687937214e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35539687937214e-05×40589641000000     		ar = 38040.7197877759m²