Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56278 / 29537
↖ ↑ ↗
← N 69.808361°
W 25.427857°		 ← 105.42 m → N 69.808361°
W 25.425110°		 →
↑
105.44 m
↓
↑
105.44 m
↓
N 69.807412°
W 25.427857°		 ← 105.43 m →
11 116 m²		 N 69.807412°
W 25.425110°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429370880126953 y=0.225353240966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429370880126953 × 217)
    floor (0.429370880126953 × 131072)
    floor (56278.5)     		tx = 56278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225353240966797 × 217)
    floor (0.225353240966797 × 131072)
    floor (29537.5)     		ty = 29537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56278 / 29537 ti = "17/56278/29537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56278/29537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56278 ÷ 217
    56278 ÷ 131072     		x = 0.429367065429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29537 ÷ 217
    29537 ÷ 131072     		y = 0.225349426269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429367065429688 × 2 - 1) × π
    -0.141265869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44379982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225349426269531 × 2 - 1) × π
    0.549301147460938 × 3.1415926535     		Φ = 1.7256804494224
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44379982} λ = -0.44379982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7256804494224))-π/2
    2×atan(5.61634136601144)-π/2
    2×1.39459103323395-π/2
    2.78918206646791-1.57079632675     		φ = 1.21838574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44379982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.427857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21838574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.808361°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56278 KachelY 29537 -0.44379982 1.21838574 -25.427857 69.808361
    Oben rechts KachelX + 1 56279 KachelY 29537 -0.44375188 1.21838574 -25.425110 69.808361
    Unten links KachelX 56278 KachelY + 1 29538 -0.44379982 1.21836919 -25.427857 69.807412
    Unten rechts KachelX + 1 56279 KachelY + 1 29538 -0.44375188 1.21836919 -25.425110 69.807412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21838574-1.21836919) × R
    1.65500000000041e-05 × 6371000     		dl = 105.440050000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21838574-1.21836919) × R
    1.65500000000041e-05 × 6371000     		dr = 105.440050000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44379982--0.44375188) × cos(1.21838574) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.345161248442573 × 6371000     		do = 105.42112972495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44379982--0.44375188) × cos(1.21836919) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.345176781288563 × 6371000     		du = 105.42587385593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21838574)-sin(1.21836919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345161248442573-0.345176781288563)×R²
    abs(-0.44375188--0.44379982)×1.55328459892634e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.55328459892634e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.55328459892634e-05×40589641000000     		ar = 11115.8593002377m²