Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56277 / 86340
↖ ↑ ↗
← S 49.503810°
W 25.430603°		 ← 198.30 m → S 49.503810°
W 25.427857°		 →
↑
198.33 m
↓
↑
198.33 m
↓
S 49.505593°
W 25.430603°		 ← 198.29 m →
39 328 m²		 S 49.505593°
W 25.427857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56277 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429363250732422 y=0.658725738525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429363250732422 × 217)
    floor (0.429363250732422 × 131072)
    floor (56277.5)     		tx = 56277
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658725738525391 × 217)
    floor (0.658725738525391 × 131072)
    floor (86340.5)     		ty = 86340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56277 / 86340 ti = "17/56277/86340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56277/86340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56277 ÷ 217
    56277 ÷ 131072     		x = 0.429359436035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86340 ÷ 217
    86340 ÷ 131072     		y = 0.658721923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429359436035156 × 2 - 1) × π
    -0.141281127929688 × 3.1415926535     		Λ = -0.44384775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658721923828125 × 2 - 1) × π
    -0.31744384765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.997279259695648
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44384775} λ = -0.44384775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.997279259695648))-π/2
    2×atan(0.368881708430376)-π/2
    2×0.353395929016831-π/2
    0.706791858033662-1.57079632675     		φ = -0.86400447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44384775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.430603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86400447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.503810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56277 KachelY 86340 -0.44384775 -0.86400447 -25.430603 -49.503810
    Oben rechts KachelX + 1 56278 KachelY 86340 -0.44379982 -0.86400447 -25.427857 -49.503810
    Unten links KachelX 56277 KachelY + 1 86341 -0.44384775 -0.86403560 -25.430603 -49.505593
    Unten rechts KachelX + 1 56278 KachelY + 1 86341 -0.44379982 -0.86403560 -25.427857 -49.505593
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86400447--0.86403560) × R
    3.11299999999903e-05 × 6371000     		dl = 198.329229999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86400447--0.86403560) × R
    3.11299999999903e-05 × 6371000     		dr = 198.329229999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44384775--0.44379982) × cos(-0.86400447) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.649397487302138 × 6371000     		do = 198.301334999372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44384775--0.44379982) × cos(-0.86403560) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.649373814205572 × 6371000     		du = 198.294106134548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86400447)-sin(-0.86403560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649397487302138-0.649373814205572)×R²
    abs(-0.44379982--0.44384775)×2.36730965658127e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36730965658127e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36730965658127e-05×40589641000000     		ar = 39328.2342339895m²