Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56277 / 44278
↖ ↑ ↗
← N 50.306884°
W 25.430603°		 ← 195.03 m → N 50.306884°
W 25.427857°		 →
↑
195.08 m
↓
↑
195.08 m
↓
N 50.305130°
W 25.430603°		 ← 195.03 m →
38 047 m²		 N 50.305130°
W 25.427857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56277 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429363250732422 y=0.337818145751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429363250732422 × 217)
    floor (0.429363250732422 × 131072)
    floor (56277.5)     		tx = 56277
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337818145751953 × 217)
    floor (0.337818145751953 × 131072)
    floor (44278.5)     		ty = 44278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56277 / 44278 ti = "17/56277/44278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56277/44278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56277 ÷ 217
    56277 ÷ 131072     		x = 0.429359436035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44278 ÷ 217
    44278 ÷ 131072     		y = 0.337814331054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429359436035156 × 2 - 1) × π
    -0.141281127929688 × 3.1415926535     		Λ = -0.44384775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337814331054688 × 2 - 1) × π
    0.324371337890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01904261212315
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44384775} λ = -0.44384775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01904261212315))-π/2
    2×atan(2.77054101145509)-π/2
    2×1.22440854651824-π/2
    2.44881709303648-1.57079632675     		φ = 0.87802077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44384775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.430603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87802077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.306884°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56277 KachelY 44278 -0.44384775 0.87802077 -25.430603 50.306884
    Oben rechts KachelX + 1 56278 KachelY 44278 -0.44379982 0.87802077 -25.427857 50.306884
    Unten links KachelX 56277 KachelY + 1 44279 -0.44384775 0.87799015 -25.430603 50.305130
    Unten rechts KachelX + 1 56278 KachelY + 1 44279 -0.44379982 0.87799015 -25.427857 50.305130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87802077-0.87799015) × R
    3.06199999999812e-05 × 6371000     		dl = 195.08001999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87802077-0.87799015) × R
    3.06199999999812e-05 × 6371000     		dr = 195.08001999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44384775--0.44379982) × cos(0.87802077) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.638675364741843 × 6371000     		do = 195.027205888453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44384775--0.44379982) × cos(0.87799015) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.638698925806783 × 6371000     		du = 195.034400543072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87802077)-sin(0.87799015))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638675364741843-0.638698925806783)×R²
    abs(-0.44379982--0.44384775)×2.35610649402807e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.35610649402807e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.35610649402807e-05×40589641000000     		ar = 38046.6129948071m²