Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56276 / 86864
↖ ↑ ↗
← S 50.429518°
W 25.433350°		 ← 194.56 m → S 50.429518°
W 25.430603°		 →
↑
194.51 m
↓
↑
194.51 m
↓
S 50.431267°
W 25.433350°		 ← 194.56 m →
37 843 m²		 S 50.431267°
W 25.430603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429355621337891 y=0.662723541259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429355621337891 × 217)
    floor (0.429355621337891 × 131072)
    floor (56276.5)     		tx = 56276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662723541259766 × 217)
    floor (0.662723541259766 × 131072)
    floor (86864.5)     		ty = 86864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56276 / 86864 ti = "17/56276/86864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56276/86864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56276 ÷ 217
    56276 ÷ 131072     		x = 0.429351806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86864 ÷ 217
    86864 ÷ 131072     		y = 0.6627197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429351806640625 × 2 - 1) × π
    -0.14129638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44389569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6627197265625 × 2 - 1) × π
    -0.325439453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.02239819509656
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44389569} λ = -0.44389569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02239819509656))-π/2
    2×atan(0.359731199279272)-π/2
    2×0.345317599221323-π/2
    0.690635198442646-1.57079632675     		φ = -0.88016113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44389569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.433350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88016113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.429518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56276 KachelY 86864 -0.44389569 -0.88016113 -25.433350 -50.429518
    Oben rechts KachelX + 1 56277 KachelY 86864 -0.44384775 -0.88016113 -25.430603 -50.429518
    Unten links KachelX 56276 KachelY + 1 86865 -0.44389569 -0.88019166 -25.433350 -50.431267
    Unten rechts KachelX + 1 56277 KachelY + 1 86865 -0.44384775 -0.88019166 -25.430603 -50.431267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88016113--0.88019166) × R
    3.05300000000841e-05 × 6371000     		dl = 194.506630000536m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88016113--0.88019166) × R
    3.05300000000841e-05 × 6371000     		dr = 194.506630000536m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44389569--0.44384775) × cos(-0.88016113) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.637026946772422 × 6371000     		do = 194.564426618005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44389569--0.44384775) × cos(-0.88019166) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.637003412683541 × 6371000     		du = 194.557238701494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88016113)-sin(-0.88019166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637026946772422-0.637003412683541)×R²
    abs(-0.44384775--0.44389569)×2.35340888810054e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35340888810054e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35340888810054e-05×40589641000000     		ar = 37843.3718937197m²