Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56276 / 43380
↖ ↑ ↗
← N 51.856139°
W 25.433350°		 ← 188.64 m → N 51.856139°
W 25.430603°		 →
↑
188.65 m
↓
↑
188.65 m
↓
N 51.854442°
W 25.433350°		 ← 188.65 m →
35 587 m²		 N 51.854442°
W 25.430603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429355621337891 y=0.330966949462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429355621337891 × 217)
    floor (0.429355621337891 × 131072)
    floor (56276.5)     		tx = 56276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330966949462891 × 217)
    floor (0.330966949462891 × 131072)
    floor (43380.5)     		ty = 43380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56276 / 43380 ti = "17/56276/43380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56276/43380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56276 ÷ 217
    56276 ÷ 131072     		x = 0.429351806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43380 ÷ 217
    43380 ÷ 131072     		y = 0.330963134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429351806640625 × 2 - 1) × π
    -0.14129638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44389569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330963134765625 × 2 - 1) × π
    0.33807373046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06208994798196
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44389569} λ = -0.44389569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06208994798196))-π/2
    2×atan(2.89240966255068)-π/2
    2×1.23792834354257-π/2
    2.47585668708513-1.57079632675     		φ = 0.90506036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44389569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.433350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90506036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.856139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56276 KachelY 43380 -0.44389569 0.90506036 -25.433350 51.856139
    Oben rechts KachelX + 1 56277 KachelY 43380 -0.44384775 0.90506036 -25.430603 51.856139
    Unten links KachelX 56276 KachelY + 1 43381 -0.44389569 0.90503075 -25.433350 51.854442
    Unten rechts KachelX + 1 56277 KachelY + 1 43381 -0.44384775 0.90503075 -25.430603 51.854442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90506036-0.90503075) × R
    2.96100000000132e-05 × 6371000     		dl = 188.645310000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90506036-0.90503075) × R
    2.96100000000132e-05 × 6371000     		dr = 188.645310000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44389569--0.44384775) × cos(0.90506036) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.617638110185861 × 6371000     		do = 188.642576855813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44389569--0.44384775) × cos(0.90503075) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.61766139706786 × 6371000     		du = 188.64968926898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90506036)-sin(0.90503075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617638110185861-0.61766139706786)×R²
    abs(-0.44384775--0.44389569)×2.32868819990406e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.32868819990406e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.32868819990406e-05×40589641000000     		ar = 35587.2082543313m²