Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56276 / 29524
↖ ↑ ↗
← N 69.820681°
W 25.433350°		 ← 105.36 m → N 69.820681°
W 25.430603°		 →
↑
105.31 m
↓
↑
105.31 m
↓
N 69.819734°
W 25.433350°		 ← 105.36 m →
11 096 m²		 N 69.819734°
W 25.430603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429355621337891 y=0.225254058837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429355621337891 × 217)
    floor (0.429355621337891 × 131072)
    floor (56276.5)     		tx = 56276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225254058837891 × 217)
    floor (0.225254058837891 × 131072)
    floor (29524.5)     		ty = 29524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56276 / 29524 ti = "17/56276/29524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56276/29524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56276 ÷ 217
    56276 ÷ 131072     		x = 0.429351806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29524 ÷ 217
    29524 ÷ 131072     		y = 0.225250244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429351806640625 × 2 - 1) × π
    -0.14129638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44389569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225250244140625 × 2 - 1) × π
    0.54949951171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.72630362911746
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44389569} λ = -0.44389569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72630362911746))-π/2
    2×atan(5.61984244669916)-π/2
    2×1.39469855052851-π/2
    2.78939710105702-1.57079632675     		φ = 1.21860077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44389569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.433350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21860077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.820681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56276 KachelY 29524 -0.44389569 1.21860077 -25.433350 69.820681
    Oben rechts KachelX + 1 56277 KachelY 29524 -0.44384775 1.21860077 -25.430603 69.820681
    Unten links KachelX 56276 KachelY + 1 29525 -0.44389569 1.21858424 -25.433350 69.819734
    Unten rechts KachelX + 1 56277 KachelY + 1 29525 -0.44384775 1.21858424 -25.430603 69.819734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21860077-1.21858424) × R
    1.65300000001256e-05 × 6371000     		dl = 105.3126300008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21860077-1.21858424) × R
    1.65300000001256e-05 × 6371000     		dr = 105.3126300008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44389569--0.44384775) × cos(1.21860077) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.344959425477188 × 6371000     		do = 105.359487796398m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44389569--0.44384775) × cos(1.21858424) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.344974940778949 × 6371000     		du = 105.36422656892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21860077)-sin(1.21858424))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344959425477188-0.344974940778949)×R²
    abs(-0.44384775--0.44389569)×1.55153017614151e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.55153017614151e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.55153017614151e-05×40589641000000     		ar = 11095.9342819069m²