Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56275 / 86860
↖ ↑ ↗
← S 50.422519°
W 25.436096°		 ← 194.59 m → S 50.422519°
W 25.433350°		 →
↑
194.57 m
↓
↑
194.57 m
↓
S 50.424269°
W 25.436096°		 ← 194.59 m →
37 861 m²		 S 50.424269°
W 25.433350°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429347991943359 y=0.662693023681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429347991943359 × 217)
    floor (0.429347991943359 × 131072)
    floor (56275.5)     		tx = 56275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662693023681641 × 217)
    floor (0.662693023681641 × 131072)
    floor (86860.5)     		ty = 86860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56275 / 86860 ti = "17/56275/86860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56275/86860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56275 ÷ 217
    56275 ÷ 131072     		x = 0.429344177246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86860 ÷ 217
    86860 ÷ 131072     		y = 0.662689208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429344177246094 × 2 - 1) × π
    -0.141311645507812 × 3.1415926535     		Λ = -0.44394363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662689208984375 × 2 - 1) × π
    -0.32537841796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.02220644749808
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44394363} λ = -0.44394363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02220644749808))-π/2
    2×atan(0.359800183486399)-π/2
    2×0.345378677928718-π/2
    0.690757355857436-1.57079632675     		φ = -0.88003897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44394363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.436096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88003897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.422519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56275 KachelY 86860 -0.44394363 -0.88003897 -25.436096 -50.422519
    Oben rechts KachelX + 1 56276 KachelY 86860 -0.44389569 -0.88003897 -25.433350 -50.422519
    Unten links KachelX 56275 KachelY + 1 86861 -0.44394363 -0.88006951 -25.436096 -50.424269
    Unten rechts KachelX + 1 56276 KachelY + 1 86861 -0.44389569 -0.88006951 -25.433350 -50.424269
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88003897--0.88006951) × R
    3.05400000000233e-05 × 6371000     		dl = 194.570340000149m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88003897--0.88006951) × R
    3.05400000000233e-05 × 6371000     		dr = 194.570340000149m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44394363--0.44389569) × cos(-0.88003897) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.637121108020669 × 6371000     		do = 194.593185886705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44394363--0.44389569) × cos(-0.88006951) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.637097568599909 × 6371000     		du = 194.5859963417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88003897)-sin(-0.88006951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637121108020669-0.637097568599909)×R²
    abs(-0.44389569--0.44394363)×2.35394207602768e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35394207602768e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35394207602768e-05×40589641000000     		ar = 37861.3629064882m²