Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56274 / 16498
↖ ↑ ↗
← N 79.112351°
W 25.438843°		 ← 57.68 m → N 79.112351°
W 25.436096°		 →
↑
57.66 m
↓
↑
57.66 m
↓
N 79.111833°
W 25.438843°		 ← 57.68 m →
3 326 m²		 N 79.111833°
W 25.436096°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429340362548828 y=0.125873565673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429340362548828 × 217)
    floor (0.429340362548828 × 131072)
    floor (56274.5)     		tx = 56274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125873565673828 × 217)
    floor (0.125873565673828 × 131072)
    floor (16498.5)     		ty = 16498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56274 / 16498 ti = "17/56274/16498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56274/16498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56274 ÷ 217
    56274 ÷ 131072     		x = 0.429336547851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16498 ÷ 217
    16498 ÷ 131072     		y = 0.125869750976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429336547851562 × 2 - 1) × π
    -0.141326904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44399156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125869750976562 × 2 - 1) × π
    0.748260498046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.35072968356831
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44399156} λ = -0.44399156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35072968356831))-π/2
    2×atan(10.4932236647977)-π/2
    2×1.47578367059264-π/2
    2.95156734118529-1.57079632675     		φ = 1.38077101
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44399156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.438843°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38077101 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.112351°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56274 KachelY 16498 -0.44399156 1.38077101 -25.438843 79.112351
    Oben rechts KachelX + 1 56275 KachelY 16498 -0.44394363 1.38077101 -25.436096 79.112351
    Unten links KachelX 56274 KachelY + 1 16499 -0.44399156 1.38076196 -25.438843 79.111833
    Unten rechts KachelX + 1 56275 KachelY + 1 16499 -0.44394363 1.38076196 -25.436096 79.111833
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38077101-1.38076196) × R
    9.04999999984391e-06 × 6371000     		dl = 57.6575499990055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38077101-1.38076196) × R
    9.04999999984391e-06 × 6371000     		dr = 57.6575499990055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44399156--0.44394363) × cos(1.38077101) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.188883756115782 × 6371000     		do = 57.6779272015755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44399156--0.44394363) × cos(1.38076196) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.188892643203101 × 6371000     		du = 57.6806409806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38077101)-sin(1.38076196))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188883756115782-0.188892643203101)×R²
    abs(-0.44394363--0.44399156)×8.88708731888732e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.88708731888732e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.88708731888732e-06×40589641000000     		ar = 3325.64620636464m²