Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56273 / 16271
↖ ↑ ↗
← N 79.229489°
W 25.441589°		 ← 57.08 m → N 79.229489°
W 25.438843°		 →
↑
57.08 m
↓
↑
57.08 m
↓
N 79.228975°
W 25.441589°		 ← 57.08 m →
3 258 m²		 N 79.228975°
W 25.438843°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429332733154297 y=0.124141693115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429332733154297 × 217)
    floor (0.429332733154297 × 131072)
    floor (56273.5)     		tx = 56273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124141693115234 × 217)
    floor (0.124141693115234 × 131072)
    floor (16271.5)     		ty = 16271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56273 / 16271 ti = "17/56273/16271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56273/16271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56273 ÷ 217
    56273 ÷ 131072     		x = 0.429328918457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16271 ÷ 217
    16271 ÷ 131072     		y = 0.124137878417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429328918457031 × 2 - 1) × π
    -0.141342163085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.44403950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124137878417969 × 2 - 1) × π
    0.751724243164062 × 3.1415926535     		Φ = 2.36161135978207
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44403950} λ = -0.44403950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36161135978207))-π/2
    2×atan(10.6080310426449)-π/2
    2×1.47680588447592-π/2
    2.95361176895184-1.57079632675     		φ = 1.38281544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44403950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.441589°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38281544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.229489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56273 KachelY 16271 -0.44403950 1.38281544 -25.441589 79.229489
    Oben rechts KachelX + 1 56274 KachelY 16271 -0.44399156 1.38281544 -25.438843 79.229489
    Unten links KachelX 56273 KachelY + 1 16272 -0.44403950 1.38280648 -25.441589 79.228975
    Unten rechts KachelX + 1 56274 KachelY + 1 16272 -0.44399156 1.38280648 -25.438843 79.228975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38281544-1.38280648) × R
    8.95999999994679e-06 × 6371000     		dl = 57.084159999661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38281544-1.38280648) × R
    8.95999999994679e-06 × 6371000     		dr = 57.084159999661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44403950--0.44399156) × cos(1.38281544) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186875733633592 × 6371000     		do = 57.0766592330452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44403950--0.44399156) × cos(1.38280648) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186884535782793 × 6371000     		du = 57.0793476359787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38281544)-sin(1.38280648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186875733633592-0.186884535782793)×R²
    abs(-0.44399156--0.44403950)×8.80214920165323e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.80214920165323e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.80214920165323e-06×40589641000000     		ar = 3258.24988048806m²