Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56271 / 43385
↖ ↑ ↗
← N 51.847656°
W 25.447082°		 ← 188.64 m → N 51.847656°
W 25.444336°		 →
↑
188.71 m
↓
↑
188.71 m
↓
N 51.845959°
W 25.447082°		 ← 188.65 m →
35 599 m²		 N 51.845959°
W 25.444336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429317474365234 y=0.331005096435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429317474365234 × 217)
    floor (0.429317474365234 × 131072)
    floor (56271.5)     		tx = 56271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331005096435547 × 217)
    floor (0.331005096435547 × 131072)
    floor (43385.5)     		ty = 43385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56271 / 43385 ti = "17/56271/43385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56271/43385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56271 ÷ 217
    56271 ÷ 131072     		x = 0.429313659667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43385 ÷ 217
    43385 ÷ 131072     		y = 0.331001281738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429313659667969 × 2 - 1) × π
    -0.141372680664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.44413537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331001281738281 × 2 - 1) × π
    0.337997436523438 × 3.1415926535     		Φ = 1.06185026348386
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44413537} λ = -0.44413537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06185026348386))-π/2
    2×atan(2.8917164798683)-π/2
    2×1.23785431742579-π/2
    2.47570863485158-1.57079632675     		φ = 0.90491231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44413537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.447082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90491231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.847656°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56271 KachelY 43385 -0.44413537 0.90491231 -25.447082 51.847656
    Oben rechts KachelX + 1 56272 KachelY 43385 -0.44408744 0.90491231 -25.444336 51.847656
    Unten links KachelX 56271 KachelY + 1 43386 -0.44413537 0.90488269 -25.447082 51.845959
    Unten rechts KachelX + 1 56272 KachelY + 1 43386 -0.44408744 0.90488269 -25.444336 51.845959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90491231-0.90488269) × R
    2.96200000000635e-05 × 6371000     		dl = 188.709020000404m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90491231-0.90488269) × R
    2.96200000000635e-05 × 6371000     		dr = 188.709020000404m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44413537--0.44408744) × cos(0.90491231) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.617754539180293 × 6371000     		do = 188.638780125706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44413537--0.44408744) × cos(0.90488269) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.617777831217935 × 6371000     		du = 188.645892629603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90491231)-sin(0.90488269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617754539180293-0.617777831217935)×R²
    abs(-0.44408744--0.44413537)×2.32920376421752e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.32920376421752e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.32920376421752e-05×40589641000000     		ar = 35598.5104311073m²