Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5627 / 9781
↖ ↑ ↗
← S 32.934928°
W 56.359863°		 ← 2 050.56 m → S 32.934928°
W 56.337891°		 →
↑
2 050.38 m
↓
↑
2 050.38 m
↓
S 32.953368°
W 56.359863°		 ← 2 050.13 m →
4 203 991 m²		 S 32.953368°
W 56.337891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5627 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343475341796875 y=0.597015380859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343475341796875 × 214)
    floor (0.343475341796875 × 16384)
    floor (5627.5)     		tx = 5627
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597015380859375 × 214)
    floor (0.597015380859375 × 16384)
    floor (9781.5)     		ty = 9781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5627 / 9781 ti = "14/5627/9781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5627/9781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5627 ÷ 214
    5627 ÷ 16384     		x = 0.34344482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9781 ÷ 214
    9781 ÷ 16384     		y = 0.59698486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34344482421875 × 2 - 1) × π
    -0.3131103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.98366518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59698486328125 × 2 - 1) × π
    -0.1939697265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.609373867970154
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98366518} λ = -0.98366518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.609373867970154))-π/2
    2×atan(0.543691184987301)-π/2
    2×0.497986691312277-π/2
    0.995973382624554-1.57079632675     		φ = -0.57482294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98366518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.359863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57482294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.934928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5627 KachelY 9781 -0.98366518 -0.57482294 -56.359863 -32.934928
    Oben rechts KachelX + 1 5628 KachelY 9781 -0.98328169 -0.57482294 -56.337891 -32.934928
    Unten links KachelX 5627 KachelY + 1 9782 -0.98366518 -0.57514477 -56.359863 -32.953368
    Unten rechts KachelX + 1 5628 KachelY + 1 9782 -0.98328169 -0.57514477 -56.337891 -32.953368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57482294--0.57514477) × R
    0.000321829999999967 × 6371000     		dl = 2050.37892999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57482294--0.57514477) × R
    0.000321829999999967 × 6371000     		dr = 2050.37892999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98366518--0.98328169) × cos(-0.57482294) × R
    0.000383490000000042 × 0.839288580653748 × 6371000     		do = 2050.56227333157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98366518--0.98328169) × cos(-0.57514477) × R
    0.000383490000000042 × 0.839113562664238 × 6371000     		du = 2050.13466679108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57482294)-sin(-0.57514477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.839288580653748-0.839113562664238)×R²
    abs(-0.98328169--0.98366518)×0.00017501798951014×R²
    0.000383490000000042×0.00017501798951014×6371000²
    0.000383490000000042×0.00017501798951014×40589641000000     		ar = 4203991.33845567m²