Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 5627 / 9737
↖ ↑ ↗
← S 32.119801°
W 56.359863°		 ← 2 069.25 m → S 32.119801°
W 56.337891°		 →
↑
2 069.11 m
↓
↑
2 069.11 m
↓
S 32.138409°
W 56.359863°		 ← 2 068.83 m →
4 281 073 m²		 S 32.138409°
W 56.337891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5627 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343475341796875 y=0.594329833984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343475341796875 × 214)
    floor (0.343475341796875 × 16384)
    floor (5627.5)     		tx = 5627
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.594329833984375 × 214)
    floor (0.594329833984375 × 16384)
    floor (9737.5)     		ty = 9737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5627 / 9737 ti = "14/5627/9737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5627/9737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5627 ÷ 214
    5627 ÷ 16384     		x = 0.34344482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9737 ÷ 214
    9737 ÷ 16384     		y = 0.59429931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34344482421875 × 2 - 1) × π
    -0.3131103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.98366518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59429931640625 × 2 - 1) × π
    -0.1885986328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.592500079303894
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98366518} λ = -0.98366518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.592500079303894))-π/2
    2×atan(0.55294315350223)-π/2
    2×0.505100021161356-π/2
    1.01020004232271-1.57079632675     		φ = -0.56059628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98366518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.359863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56059628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.119801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5627 KachelY 9737 -0.98366518 -0.56059628 -56.359863 -32.119801
    Oben rechts KachelX + 1 5628 KachelY 9737 -0.98328169 -0.56059628 -56.337891 -32.119801
    Unten links KachelX 5627 KachelY + 1 9738 -0.98366518 -0.56092105 -56.359863 -32.138409
    Unten rechts KachelX + 1 5628 KachelY + 1 9738 -0.98328169 -0.56092105 -56.337891 -32.138409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56059628--0.56092105) × R
    0.000324770000000085 × 6371000     		dl = 2069.10967000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56059628--0.56092105) × R
    0.000324770000000085 × 6371000     		dr = 2069.10967000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98366518--0.98328169) × cos(-0.56059628) × R
    0.000383490000000042 × 0.846938224705385 × 6371000     		do = 2069.25199681676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98366518--0.98328169) × cos(-0.56092105) × R
    0.000383490000000042 × 0.846765502657742 × 6371000     		du = 2068.82999975541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56059628)-sin(-0.56092105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.846938224705385-0.846765502657742)×R²
    abs(-0.98328169--0.98366518)×0.000172722047642293×R²
    0.000383490000000042×0.000172722047642293×6371000²
    0.000383490000000042×0.000172722047642293×40589641000000     		ar = 4281072.77481058m²