Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56266 / 29246
↖ ↑ ↗
← N 70.082433°
W 25.460815°		 ← 104.05 m → N 70.082433°
W 25.458069°		 →
↑
104.04 m
↓
↑
104.04 m
↓
N 70.081498°
W 25.460815°		 ← 104.05 m →
10 825 m²		 N 70.081498°
W 25.458069°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429279327392578 y=0.223133087158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429279327392578 × 217)
    floor (0.429279327392578 × 131072)
    floor (56266.5)     		tx = 56266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223133087158203 × 217)
    floor (0.223133087158203 × 131072)
    floor (29246.5)     		ty = 29246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56266 / 29246 ti = "17/56266/29246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56266/29246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56266 ÷ 217
    56266 ÷ 131072     		x = 0.429275512695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29246 ÷ 217
    29246 ÷ 131072     		y = 0.223129272460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429275512695312 × 2 - 1) × π
    -0.141448974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44437506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223129272460938 × 2 - 1) × π
    0.553741455078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.73963008721184
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44437506} λ = -0.44437506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73963008721184))-π/2
    2×atan(5.69523629223267)-π/2
    2×1.39698277034033-π/2
    2.79396554068066-1.57079632675     		φ = 1.22316921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44437506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.460815°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22316921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.082433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56266 KachelY 29246 -0.44437506 1.22316921 -25.460815 70.082433
    Oben rechts KachelX + 1 56267 KachelY 29246 -0.44432712 1.22316921 -25.458069 70.082433
    Unten links KachelX 56266 KachelY + 1 29247 -0.44437506 1.22315288 -25.460815 70.081498
    Unten rechts KachelX + 1 56267 KachelY + 1 29247 -0.44432712 1.22315288 -25.458069 70.081498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22316921-1.22315288) × R
    1.63300000000088e-05 × 6371000     		dl = 104.038430000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22316921-1.22315288) × R
    1.63300000000088e-05 × 6371000     		dr = 104.038430000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44437506--0.44432712) × cos(1.22316921) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.340667822458174 × 6371000     		do = 104.048721768408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44437506--0.44432712) × cos(1.22315288) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.340683175612962 × 6371000     		du = 104.053411017071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22316921)-sin(1.22315288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340667822458174-0.340683175612962)×R²
    abs(-0.44432712--0.44437506)×1.53531547883445e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53531547883445e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53531547883445e-05×40589641000000     		ar = 10825.3095876107m²