Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56265 / 16277
↖ ↑ ↗
← N 79.226409°
W 25.463562°		 ← 57.09 m → N 79.226409°
W 25.460815°		 →
↑
57.15 m
↓
↑
57.15 m
↓
N 79.225895°
W 25.463562°		 ← 57.10 m →
3 263 m²		 N 79.225895°
W 25.460815°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429271697998047 y=0.124187469482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429271697998047 × 217)
    floor (0.429271697998047 × 131072)
    floor (56265.5)     		tx = 56265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124187469482422 × 217)
    floor (0.124187469482422 × 131072)
    floor (16277.5)     		ty = 16277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56265 / 16277 ti = "17/56265/16277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56265/16277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56265 ÷ 217
    56265 ÷ 131072     		x = 0.429267883300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16277 ÷ 217
    16277 ÷ 131072     		y = 0.124183654785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429267883300781 × 2 - 1) × π
    -0.141464233398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.44442300
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124183654785156 × 2 - 1) × π
    0.751632690429688 × 3.1415926535     		Φ = 2.36132373838435
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44442300} λ = -0.44442300}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36132373838435))-π/2
    2×atan(10.6049803846676)-π/2
    2×1.47677900594924-π/2
    2.95355801189847-1.57079632675     		φ = 1.38276169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44442300} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.463562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38276169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.226409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56265 KachelY 16277 -0.44442300 1.38276169 -25.463562 79.226409
    Oben rechts KachelX + 1 56266 KachelY 16277 -0.44437506 1.38276169 -25.460815 79.226409
    Unten links KachelX 56265 KachelY + 1 16278 -0.44442300 1.38275272 -25.463562 79.225895
    Unten rechts KachelX + 1 56266 KachelY + 1 16278 -0.44437506 1.38275272 -25.460815 79.225895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38276169-1.38275272) × R
    8.96999999988601e-06 × 6371000     		dl = 57.1478699992738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38276169-1.38275272) × R
    8.96999999988601e-06 × 6371000     		dr = 57.1478699992738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44442300--0.44437506) × cos(1.38276169) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.186928536480002 × 6371000     		do = 57.0927865815503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44442300--0.44437506) × cos(1.38275272) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.186937348362908 × 6371000     		du = 57.0954779574076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38276169)-sin(1.38275272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186928536480002-0.186937348362908)×R²
    abs(-0.44437506--0.44442300)×8.81188290577373e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.81188290577373e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.81188290577373e-06×40589641000000     		ar = 3262.80804887275m²